漸化式を誰か教えてください
今、漸化式の問題を解いているのですがどうしても分からない問題があるので教えてください。
問題は
a(1)=(1/3),【3＾(n-1)】a(n＋1)=【3＾n】a(n)＋1(n=1,2,3,…）で定められる数列{a(n)}の初項から第n項までの和をS(n)とする。
このとき、lim【n→∞】S(n)の値は3/4で求めかたが分かりませんので、所々教えてください。
時間があるかた教えていただければ幸いです。
この問題を解くにはb(n)＝【3＾n】a(n)とすると漸化式が求められるそうなのですが
(1)
b(n＋1)=b(n)＋1になるのでしょうか？
【3＾(n-1)】a(n＋1)はb(n＋1)になってしまうの？
(2)
b(1)=3*((1/3)=1になってしまうの？
(3)
b(n)=1＋(n-1)*1=nの式はどこから現われたのか？
(4)
a(n)=【n/(3＾n)】とSn=Σ(n,k=1) 【k/(3＾k)】は何処から現れたのか？
(5)
S(n)-(1/3)*S(n)は何処から現われたのか？
(6)
↑を計算すると(1/3)＋(1/3＾2)＋…＋(1/3＾n)-【n/(3＾(n＋1)】
となりますが、どうしてΣ(n,k=1)【n/(3＾(n＋1)】となるのでしょうか？
(7)
（【(1/3)*{1-(1/3)n}】/【1-(1/3)】） －n/【3＾(n＋1)】は何処から現われたのでしょうか？
↑を計算すると(1/2)*【1-(1/3)n】－n/【3＾(n＋1)】となります。
Ｓ(n)=(3/4)*【【1-(1/3)n】】-(3/2)*n/【3＾(n＋1)】の形にどうしてなるのか分かりません。
(8)
↑の式は(1/3)nのnに∞を代入して0,【3＾(n＋1)】のnの部分に代入して0になって3/4となるのでしょうか？
補足
返信ありがとうございます。 じつは通常の連立漸化式としては√を使えば解けますが、最終の問題がb[n+1]<b[n]の証明なので、実際b[n]を求めてしまっていいものかもっと効率よい解法があるのではないか、√を使っても問題はないか（フィボナッチはルートですから大丈夫でしょうが）そこらへんがつまっている部分でした。実際求めてしまって指数関数としてみて底＜１なので単調減少として一先ず処理しました。