高校の物理の問題です

質問

高校の物理の問題です、皆さん、教えていたたけませんか。
次の図のように質量Mの一様なはしごを水平な床と４５°の角度をなすように鉛直な壁に立てかけてある。壁はなめらかで、床とはしごの間の静止摩擦係数は０．５である。また,はしごの重心は、はしごの中心にある。質量ｍの人がはしごの上端に立ったとき、ｍ＜ｘであれば、はしごは滑らないが、ｍ＞ｘであれば滑る。質量ｘはいくらか。
宜しくお願いいたします

回答No.1

Quarks

「はしご」に掛かっている力をすべて数え上げること、すべてはこれから始まります。
物体に作用する力を、取りこぼしなく数え上げるコツがありますから、それを紹介しながら、力を数え上げてみましょう。
物体(本問題では「はしご」です)に作用する力には、大きく分けて２種類有ります。

１つは、その物体に"接触している物体から受ける力"です。"接触力"と呼びましょう。その作用点は、必ず、接触点です。
さて、はしごに接している物体とは？　壁，床，そして載っているヒト　の３つですからこれらの全てから、はしごは力を受けています。
このうち、壁や床のような"面"が及ぼす力は、面に対して垂直な方向に押し返してくる力(これを、「垂直抗力」と呼びます。)と、面に平行に働く「摩擦力」です。
題意から、壁は"滑らか"なので、壁からの摩擦力は０として良いということを意味していますので、壁からは、垂直抗力Ｎ1だけが働きます。
床面からの力は、垂直抗力Ｎ2と、静止摩擦力Ｆの２つです。はしごは動かないという条件ですから、摩擦力は当然、「静止摩擦力」でなければなりません。静止摩擦力は、物体が動こうとするのを押し留めようとするように働く力です。床が滑らかだったら、はしごの下端は左に滑るので、静止摩擦力Ｆは右向きでなければなりません。
ヒトが及ぼす力は、或る意味単純で、はしごがなければヒトは真下に落ちてしまいます。それをはしごは支えているのですから、ヒトは、はしごから上向きの力ｗで支えられていると考えることができます。さて、２つの物体間で力が作用するとき、作用反作用の法則が成り立っています。これは、はしごがヒトを上向きの力ｗで支えるなら、はしごもまたｗと同じ大きさの力を下向きに受けている、ということを意味しています。つまり、はしごはヒトからｗの大きさの力を下向きに受けているわけです。ところでヒトは、はしごによってｗで支えられていますが、ヒトにはこの力以外に自身の重力ｍｇが下向きに働いています。この重力ｍｇとｗとが釣り合って、ヒトは静止していられるのです。つまり、ｗとｍｇとは同じ大きさだったと言えます。
以上で接触力はすべて見つかりました。
　床から上向きに働く垂直抗力Ｎ2
　床に平行で右向きの静止摩擦力Ｆ
　壁から左向きに掛かる垂直抗力Ｎ1
　はしごの最上点(ヒトが載っている位置)にかかる、ヒトが押す下向きの力ｗ（＝ｍｇの大きさ）
の４力です。

２つ目は、直接原因物体とは接触していないのに働く不思議な力です。これらの力には、重力，静電気力，静磁気力などがあります。遠くからでも作用するので、"遠隔力"と呼びましょう。本問題では、電気や磁気は無関係ですから、重力だけが該当する力になります。重力Ｗ、Ｍｇの大きさで下向きに、はしごの中点(重心)に作用している力です。

力をすべてあげましたので、次はこれらの間に成り立っている関係を、５つ力のいくつかを使った方程式として書き下します。５つの力を未知数とすると、方程式は少なくても５本は必要です。
　ｗ＝ｍｇ
はわかっていますから、これを除けば、未知数は４つです。

釣り合いの関係
はしごは動かないのですから、５力は釣り合いの関係にあるはずです。５つの力は、向きが様々ですから、水平方向の力の釣り合い，鉛直方向の力の釣り合い、に分けて考えましょう。

水平方向の釣り合い
　Ｎ1＝Ｆ　　式（ア）
鉛直方向の釣り合い
　Ｎ2＝Ｍｇ＋ｗ
ｗ＝ｍｇでしたから
　Ｎ2＝Ｍｇ＋ｍｇ　式（イ）

はしごは回転もしていません。回転は、モーメントを手がかりに表現できます。５つの力の、任意の点(回転軸)のまわりのモーメントを計算して、その総和が０であれば、はしごは回転していないことになります。
回転軸はどこに取っても良いのですが、できれば、沢山の力が集中している点を選ぶべきです(後々の処理が楽になるからです)が、本問では、ちょっと変則的ですが、はしごの中点を回転軸としてみましょう。
　モーメントの大きさ＝力の大きさ・腕の長さ
「腕の長さ」とは、回転軸から、その力の作用線に下した垂線の長さ、のことです。
モーメントには向きがありますが、その力だけが作用したとき、物体が反時計回りに回転するなら＋，時計回りに回転するなら－として符号で、向きを表現しましょう。

Ｍｇのモーメントは、腕の長さ＝０なので、そのモーメントは０です。
はしごの長さを適当に定めておかないと計算できませんから、２Ｌとしておきましょう。
　Ｎ2のモーメント＝－Ｎ2・(Ｌ・cos45°)
　ｗのモーメント＝－ｍｇ・(Ｌ・cos45°）
　Ｎ1のモーメント＝Ｎ1・(Ｌ・sin45°）
　Ｆのモーメント＝Ｆ・(Ｌ・sin45°）
これで、５力のモーメントが求まりましたから、その総和＝０として
　Ｎ1・(Ｌ・sin45°）＋Ｆ・(Ｌ・sin45°）
　－Ｎ2・(Ｌ・cos45°)－ｍｇ・(Ｌ・cos45°）＝０
同じ数値が各項に含まれているので、整理すると簡単な式になって
　Ｎ1＋Ｆ－Ｎ2－ｍｇ＝０　式（ウ）
結局、はしごの長さは関係ないようです。

もう一つ条件が足りませんが、床面とはしごとの間の静止摩擦力が特殊な状態であることを思い出しましょう。いま正に滑りだそうとしているのですから、このとき作用している静止摩擦力は、実は最大摩擦力だったのです。
　最大摩擦力＝静止摩擦係数・垂直抗力
ですから
　Ｆ＝0.5・Ｎ2　　式（エ）

これで、必要な方程式が４本揃いましたので、これらを連立方程式として解けば、全ての未知数が求まります。連立方程式の解法は書きませんので、質問者さんがご自身で解いて下さい。求める答ｘは、このｍの値そのものです。

（ア）,（エ）から　Ｆを消去すると　Ｎ1＝…Ｎ2
この結果と（エ）を、（ウ）に代入して、Ｎ2とｍだけを含む式に作り直してみると
　ｍ＝…

結果は、ちょっと意外な数値になってしまいますが、静止摩擦係数の設定値のいたずらですね。