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解いてみてくれませんか、意見が聞きたいです・・
《問題》なめらかな壁に片方の端に質量ｍの大きさが無視できる重りが付いていて他の質量を無視できる棒が立てかけてあります。重りの付いている方が壁とＡ点で接しているとして、棒と壁のなす角度がθになったときに棒が床にすべり落ちました。棒と床はＢ点で接していて摩擦があり、摩擦係数をμで表すことにします。μの値をθを用いて表しなさい。
- buturikyou
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＞他の回転運動を含む剛体のつり合いもまた二点におけるつり合いの条件で解くことによってモーメントを使う場合とおなじ答えを得られるにもかかわらず、・・・ この部分についてです。 参考ＵＲＬに書いてある結果がモーメントを使わないで出したようになっていることがこの文章の背景にあるのでしょうね。 力のつりあいについて復習しておきます。 （１）物体に２つの力が働いていてつりあっているとき ・２つの力は同一線上にあります。 ・２つの力は大きさが等しくて方向が逆です。 （もし、同一線上になければ物体は回転します。同一直線状にないという場面は物体に大きさがあるという場合にしか起こりません。） （２）物体に３つの力が働いていてつりあっているとき ・３つの力は同一平面状にあります。 ・３つの力はすべて平行であるか、どの２つも平行でないかのどちらかです。 （イ）３つの力が平行である場合、 向きを＋－で区別すると３つの力の和が０になります。 Ｆ１＋Ｆ２＋Ｆ３＝０ （Ａ） （イ－１）３つの力が同一線上にあるとき ２つの力を与えると残りの１つが決まります。 （イ－２）３つの力が同一線上にないとき ３つの力の働いている位置関係がわかれば１つの力を与えると残りの２つが決まります。回転の釣り合いという条件がひとつ増えるからです。モーメントの計算が必ず必要です。天秤の釣り合いをモーメントを使わずにやることはできません。 （ロ）どの２つの力も平行でないとき ３つの力の作用線を延長すると１点で交わります。 この幾何的な条件を踏まえたうえで３つの力の合力＝０です。 Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３をベクトルとして考えて（Ａ）と同じ式が成り立ちます。 Ｆ１＋Ｆ２＋Ｆ３＝０ （Ａ’） （３）４つの力が働いているとき どれか２つの力を合成して（２）の場合に持っていくことができるはずです。力の合成は作用線の延長線の交点で行います。 （２）の（ロ）ではモーメントを使っていません。その代わりに幾何的な条件を使っています。どちらでも同じ結果が出てきます。３つの線が１点で交わるというのは特別な条件です。つりあいだけで出しているのではありません。つりあいは（Ａ’）です。作用線を延長したものが一点で交わるという条件を一般の場合に当てはめて計算するのは面倒な場合が多いです。モーメントの計算は力を成分に分けて計算できますのでどの場合に対しても同じ手順になります。剛体の場合、モーメントの計算で解くと書かれているのはどの場合にも同じ手順を当てはめることができるからです。釣り合いが成り立たない場合どういう回転が起こるかに対する予想も立てやすいです。どちらの方法にも物理的な意味があります。（２）の（ロ）は釣り合いが成り立っている場合でしか使うことができません。回転に関する運動方程式を立てようと思えばモーメントが必要です。Ｆ＝ｍａに対応するのがＮ＝Ｉｄω／ｄｔです。Ｎはトルク、Ｉは慣性モーメントです。トルクＮはつりあいで回転のモーメントといっているものと同じです。 参考ＵＲＬでモーメントを使っていないように見えるのは 床との接点で棒に働いている２つの力（摩擦力と垂直抗力）の合力Ｇ１の方向が棒の方向であるという結果を使っているからです。壁との接点で棒に働いている２つの力の合力Ｇ２の方向はやはり棒の方向です。そうでないとつりあいません。作用線が一致しなくなります。でもこういうことが言えたのは棒の質量が端にある錘だけで代表されているという特殊な状況だからです。棒の重心が棒の端になければ合力Ｇ１の方向は棒の方向とは一致しなくなります。 棒の重心が棒の中央にある場合の図が＃５にあります。 ２つの力、Ｎ１とｍｇの作用線の交点が合力の作用点です。重心の真上にあります。その点とＢ点を結んだ線が合力の働く方向です。これでＮ２とＦの合力とつりあいます。Ｎ２とＦの比も決まります。回転は起こりません。この方向は棒の方向ではありません。したがってμ＝ｔａｎθでもありません。すべての結果はモーメントで解いたのと同じです。 参考ＵＲＬではＢ点で棒に働く力の合力の方向は常に棒の方向であるとしています。それが静止最大摩擦力の表現 μ＝ｔａｎθ が質量の分布によらず一定であると言う結論を出してしまっている理由です。思い込みで解いているのに、教科書が間違っているとか、重心が高くなるような逆回転が起こるはずだとか言っているのです。 軽い棒の中央に錘をつけます。錘を重くすると、たわんだり、折れたりするはずです。常に棒の方向に力が働くのであればこういうことは起こりません。
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- htms42
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＃７です。 ＞棒のＢ点に接していた部分の質量は水平方向に動く 棒は確かに横に動きます。 でも棒には質量がないとしているのでしょう。 運動方程式は質量のある物体についてしか立てることはできません。 運動方程式を立てることができるのはＡにある錘についてだけです。 ＞＞他の回転運動を含む剛体のつり合いもまた二点におけるつり合いの条件で解くことによってモーメントを使う場合とおなじ答えを得られるにもかかわらず・・・ 剛体のつりあいには、力のつりあいとモーメントの釣り合いとの両方が必要です。つりあいの条件があればモーメントがいらないということはありません。この３つが必要であるというのは高等学校の教科書に出てきています。 混乱の原因はこの辺りにもありそうですね。 ＃５の回答ではμ＝(1/2)ｔａｎθがおかしいと補足欄に書いてあることに対してキチンと導いています。上下、左右のつりあい、一点の周りでの回転のモーメントのつりあいの３つを使っているはずです。その回答にはコメントが書かれていません。そこに書かれていることを無視して私の回答に対してこのようなコメントを書くというのはおかしいです。「高等学校の教科書が間違っている」ということまで書いておられるのですから「間違っているのではない」という回答が出ればキチンとそれに対応すべきです。自分の考えのどこがおかしかったのかわかってもらわないと困ります。 つりあいの問題が解けないのであれば運動動方程式で考えないといけない問題は到底無理です。 逆の回転が起こるかどうかは棒を壁に立てかけてやってみればすぐにわかります。重心が高くなるような回転は起こらないのです。重心が中央付近にあっても端にあっても同じです。位置エネルギーから運動エネルギーに移るのですから必ず重心は下がります。 起こらないはずのことが起こるような結果が出てくれば考え方が間違っているか計算が間違っているかです。 逆回転が起こるはずなのに、・・・ 教科書が間違っている！ こういう結論の出し方はおかしいですね。 「自分のやって計算では起こらないはずのことが起こるという結果が出た。どこに考え方の間違いがあるかわからないので教えてほしい」という質問であれば意味がわかります。
補足
＃５に関しては「教科書の解き方が正しいならば貴君の回答は正しい」と認識したのでスルーしたのです。また「棒のＢ点の質量は水平に動く」とは一般的な線密度一定である条件の場合について述べたつもりでしたが但し書きを入れるのを忘れたのです、誤解を招き失礼しました。剛体のつり合いは二点のつり合いでも解けます、これは問題集のあらゆる練習問題で確かめました。一点が動かない条件だけですと回転が避けられませんが、二点がつり合っていますと剛体全体が動けませんから・・。 ＞＃５の回答ではμ＝(1/2)ｔａｎθがおかしいと補足欄に書いてあることに対してキチンと導いています。上下、左右のつりあい、一点の周りでの回転のモーメントのつりあいの３つを使っているはずです。その回答にはコメントが書かれていません。そこに書かれていることを無視して私の回答に対してこのようなコメントを書くというのはおかしいです。「高等学校の教科書が間違っている」ということまで書いておられるのですから「間違っているのではない」という回答が出ればキチンとそれに対応すべきです。自分の考えのどこがおかしかったのかわかってもらわないと困ります。 ですから通常の剛体の運動力学では「並進運動」と「回転運動」に分けられますよね。ところが壁に立てかける棒の問題では「重心が不定形の曲線運動を行なう」という意味で他の場合と異なると思うのです。 そこを「同じだ」と思われるのならばそれで構いませんが、この種の問題だけが答えが違ってくるので、僕としたら「モーメントを使う通常の解法では正しい答えは得られていないのではないか？」と疑問に思っているのです。
- htms42
- ベストアンサー率47% (1120/2361)
>するとＢ点を中心とした力のモーメントがつり合わなくたった際には棒は壁から離れて逆回転しなければなりません！ 壁からの抗力Ｆ１が摩擦力Ｆ２よりも大きくなるような場合が起こった（静止摩擦力でつりあっているとして出した式で静止摩擦係数を出したら与えられている静止摩擦係数よりも大きくなった）ときどういうことが起こるかということです。 釣り合いが実現しているとして出したが実は釣り合いが実現していなかったということです。 そのときどういうことが起こるかは釣り合いを前提とした式からはわかりません。Ｆ１を求めた式自体無効になっています。 ご質問の文章で 床の摩擦がないとしてみてください。 角度θになるように立てかけて手を離します。質量ｍの錘はただまっすぐ下に落ちるだけです。質量のない棒がついていても運動には関係がありません。質量のない糸がついているのと同じです。 手で動かないような状態にして支えていた段階では確かに抗力が存在します。手を離した後までその抗力がずっと働いていると考えるからおかしくなるのです。（ごく短い時間は持続します。少しへこんでいた壁が元に戻るぐらいの時間です。その力で接触していた壁から離れるのです。離れればもう力は一切働かなくなります。） 棒と床の接点を軸にして回転するということが起こるためには接点で棒が滑らないように支えていなければいけません。 先に車をつけた棒を押して歩いてみてください。車が滑らかに動いていてば棒が（鉛直に近い方向に）回転するということは起こりません。そういう回転が起こるのは下につけた車の回転が悪くなったときです。摩擦が大きくなったときに対応します。 補足欄に書いてある内容はあなたの考えではないですね。すべて引用ＵＲＬの中にある文章のままですね。 ブログを書いている人もあなたも高等学校の物理をまともに勉強していないですね。それでどうして高等学校の教科書に書いてあることは間違っていると言えるのでしょうか。 この質問自体「こういう文章を見つけたけれどどう思われますか」でなくて、出所を隠して意見を聞くという形です。問題点の指摘もありません。 「回答者を試す」ような内容です。丸投げよりもよくないことではないですか。禁止事項のはずです。
補足
考え方が違うのです・・、「棒のＡ点と接していた部分の質量は鉛直方向に動く」「棒のＢ点に接していた部分の質量は水平方向に動く」ということから二点における運動方程式を立てて解かなければ正しい答えは得られないということです。また、他の回転運動を含む剛体のつり合いもまた二点におけるつり合いの条件で解くことによってモーメントを使う場合とおなじ答えを得られるにもかかわらず、この《なめらかな壁に立てかけた棒の問題》だけが結果が異なるのは「この棒は回転運動をするのでなく垂直な壁という特殊な境界条件に束縛された動きをするため通常の解法では正しい答えが得られないのであろう」と予想しているという段階なんですよ・・。 私はその件に関して建設的で率直な意見を欲している訳であって回答者を試しているわけではございません、もちろん否定する意見だって大いに結構かと存じます・・。
- yokkun831
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ご紹介のあったページからの引用です。 >この場合、棒を横にすべらせる力に一致するのはＡ点におけるＦ1であり、Ｂ点におけるＦ2は静止摩擦力ですから、困ったことにはＦ1＞Ｆ2になったときに棒が動くはずなのです。 これは正しいですよ。ですからすべったときに棒の重心はちゃんと右へ移動します。 >するとＢ点を中心とした力のモーメントがつり合わなくたった際には棒は壁から離れて逆回転しなければなりません！ なぜそうなるのでしょう？ 動き始めたとき，どちらに回転するかは重心まわりの回転の運動方程式によって判断しなければなりません。回転軸をどこにとっても成立するのは，力のつり合いが成立している場合の角加速度ゼロの回転の運動方程式，すなわち力のモーメントのつりあいの式です。この点に重大な勘違いがあるのではないでしょうか？
補足
ま、戯言と思われるならば無視していただいてもかまいませんが、当方の「思い」を書いておきます。 (1)点Ａにおける壁から棒に作用する力Ｆ1は垂直抗力とおなじくつり合っているはずだ。 (2)摩擦力不足による運動ならば摩擦力Ｆ2と静止している限りはおなじ大きさの力Ｆ1とが異なる作用線上に存在するのは変だ。
- BookerL
- ベストアンサー率52% (599/1132)
＃３です。 ＞「重りの位置がどこにあっても逆の端っこでない限りは摩擦力についての関係は常におなじ」だと思うのです。 そう思いますか？だったら、おもりが棒の下端にあっても同じに思えますか？ ＞すると当然の事ながら重りが棒の中心に付いている場合だって同じですよね？ 当然、違ってきます。 添付の図で、図１・図２とも、水平・鉛直での力のつりあいより、Ｆ＝Ｎ1 、ｍｇ＝Ｎ2 の関係が成り立ちます。 Ｂのまわりの力のモーメントを考えると、 図１では、ｍｇＬsinθ＝Ｎ1Ｌcosθ ……(1) 図２では、ｍｇ(1/2)Ｌsinθ＝Ｎ1Ｌcosθ ……(2) となります。 図１でμとθの関係を考えると、(1)より ｍｇ・Ｌsinθ＝Ｎ1Ｌcosθ ← Ｆ＝Ｎ1 を使って ＝Ｆcosθ Ｆについて整理して Ｆ＝ｍｇtanθ ← ｍｇ＝Ｎ2 を使って ＝Ｎ2tanθ ……(3) 一方、摩擦係数の定義から Ｆ＝μＮ2 ……(4) (3)(4)より、μ＝tanθ 図２でμとθの関係を考えると、(2)より ｍｇ・(1/2)Ｌsinθ＝Ｎ1Ｌcosθ ← Ｆ＝Ｎ1 を使って ＝Ｆcosθ Ｆについて整理して Ｆ＝(1/2)ｍｇtanθ ← ｍｇ＝Ｎ2 を使って ＝(1/2)Ｎ2tanθ ……(5) 一方、摩擦係数の定義から Ｆ＝μＮ2 ……(6) (5)(6)より、μ＝(1/2)tanθ
補足
いずれにしても「Ａ点がおかしい」と思われませんか？ Ａ点において棒は壁に倒れ掛かっているのです・・、女性に斜めに寄り掛かられたら男性ならば圧迫を感じるという経験は誰にもあるはずです。Ａ点における棒と壁の関係は「正にその通りになっているはず」ですから、Ａ点では「単独で水平方向に力はつり合っているはずである」というのが私の意見です！
- yokkun831
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>すると当然の事ながら重りが棒の中心に付いている場合だって同じですよね？ 違うのではないでしょうか？力のモーメントのつり合いでは，あきらかにおもりがどこについているかで全く異なります。そうでなければ，下までどうやって連続に変化していけるのでしょう？ >それは棒の線密度一定条件と一致いたします。 >ところが高等学校の物理学ではμ＝tanθ/2になっておるのですよ！ これは，ここで与えられた問題とは異なりませんか？ 一様な棒だったら，重心が中央になりますから当然そうなると思います。
補足
ところが教科書流の力のモーメントを使う解き方だと「摩擦力が足らなくなった時には逆回転する」ンですよ！ http://blog.goo.ne.jp/buturikyouiku/e/4683e01d7ad907decf2b1d524b002d8a (この前回の記事と併せてご覧下さい）
- BookerL
- ベストアンサー率52% (599/1132)
丸投げの形になっているので、概略だけ。 Ｂ点で棒に働く力は、床からの垂直抗力と摩擦力です。 ＞他の質量を無視できる棒 の、「他の」というのが分からないのですが、単に「質量を無視できる棒」とすると、棒に働く鉛直方向の力は、おもりからの ｍｇ とＢ点からの垂直抗力だけなので、垂直抗力の大きさは ｍｇ です。 tanθ＝最大摩擦力/垂直抗力 の関係があり、静止摩擦係数をμとすると、最大摩擦力が μ×垂直抗力＝μｍｇ なので、これを整理するとμとθの関係が出てきます。 解き方の大筋は以上の感じですが、何の意見を聞きたいのでしょうか？
補足
そうなのです、答えは貴君と一致いたします・・、しかし・・、で、ここからが大事なのですが「重りの位置がどこにあっても逆の端っこでない限りは摩擦力についての関係は常におなじ」だと思うのです。すると当然の事ながら重りが棒の中心に付いている場合だって同じですよね？それは棒の線密度一定条件と一致いたします。 ところが高等学校の物理学ではμ＝tanθ/2になっておるのですよ！
- maccha_neko
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まず自分の解答を示すべきでは？
補足
この場合に重りの質量ｍによる重力ｍｇのすべては、Ａ点において壁を垂直に(観測者からみれば水平に)押す力ｍｇtanθと棒を斜め下に押し下げる力ｍｇ/cosθに分けられて、後者は、棒を伝わって点Ｂにおいて床を垂直に(鉛直に)押す力ｍｇと、棒を水平にすべらせる向きの(水平な)力ｍｇtanθに分けられます。Ａ点では壁が棒を押しかえす力ｍｇtanθによってつり合いますし、Ｂ点では垂直抗力がｍｇと静止摩擦力ｍｇtanθによってつり合います。以上より、μ＝ｍｇtanθ÷ｍｇ＝tanθになりますし、極端な条件でおなじなのですから質量分布に関わらず静止摩擦係数はtanθだというのが私の結論になりました！
補足
＞棒の重心が棒の端になければ合力Ｇ１の方向は棒の方向とは一致しなくなります。 摩擦力との合力がＧ1なのではございません！垂直抗力になるはずの力を棒の方向と水平方向に分力を作ったものです。多くの場合「合力を作って事態を単純化する」のですが、私はあえて「自由に分力を作る」ということを試みたのです。摩擦力とつり合う力として棒の端を横にすべらせる力というのは本質的に必要であると判断しました。そうする元の力は垂直抗力であり、そうするともう一つの分力は棒の向きに決定します、これは必然的にその方向になるのです。 ＞軽い棒の中央に錘をつけます。錘を重くすると、たわんだり、折れたりするはずです。常に棒の方向に力が働くのであればこういうことは起こりません。 一応、剛体棒を仮定しているので配慮しなくて良いと判断しています。また、重力が重心にはたらくというのは、剛体のあらゆる部分にはたらく重力を合成したベクトルが重心から引かれるからなのですが、あえて、それを二つの作用点(壁と接するＡ点と床に接するＢ点)に分けたのは「そこで他の物体(ここでは境界)に重力が作用すると思われる」ことから判断しました。