解析力学で

質問

摩擦のない水平面に小さな穴を開けて質量のない糸を（長さｌ）を垂らします。糸の上端に質量M、下端に質量ｍをつけて、下端を鉛直にたれさげた場合、運動方程式はどうなるのか、わかりません。あと、質量Mのおもりが穴に到達する時刻はどうなるのでしょうか？お願いします。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

First_Noelさんがニュートン流の運動方程式を書かれていますので、以下は「解析力学で」という主旨を受けて、ラグランジュの運動方程式で記述してみましょう。
ラグランジアンをＬ、運動エネルギーをＴ、ポテンシャルエネルギーをＶとすると
Ｌ＝Ｔ－Ｖ (1)
でした。
＜運動エネルギー＞
水平面の穴を原点とした平面極座標を取ります。ｚ軸は上が正の方向とします。従って
ｘ＝ｒcosθ、ｙ＝ｒsinθ (2)
となり、水平面の質量Ｍの質点の運動エネルギーＴ1は極座標で書くと
Ｔ1＝(1/2)Ｍ(ｒ'^2＋ｒ^2θ'^2) (3)
となります（(2)を時間微分することから得られますね）。
また、鉛直にぶら下がった質量ｍの質点の運動エネルギーＴ2は、質点Ｍの速度と同じですから
Ｔ2＝(1/2)ｍｒ'^2 (4)
となります。
従って、この力学系の運動エネルギーＴ(=T1+T2)は
Ｔ＝(1/2)Ｍ(ｒ'^2＋ｒ^2θ'^2)＋(1/2)ｍｒ'^2 (5)
となります。

＜ポテンシャルエネルギー＞
質量ｍの質点が鉛直方向に落下して行きますので、そのポテンシャルエネルギー(Ｖ)は、原点からの距離がｌ－ｒと
なりますので
Ｖ＝－ｍg(l-r) (6)
となります。

＜ラグランジアン＞
ここまでくるとラグランジアンは(1)の定義より
Ｌ＝(5)－(6)
＝(1/2)Ｍ(r'^2＋r^2θ'^2)＋(1/2)ｍr'^2＋ｍg(l-r) (7)
と求まります。

＜ラグランジュの方程式＞
あとはラグランジュの運動方程式を書けばいい訳ですね。結果を書くと（途中の計算はフォローして下さい）
(Ｍ+ｍ)ｒ''－Ｍｒθ'^2＋ｍg＝０ (8)
d/dt(Ｍｒ^2θ')＝０ (9)
(9)式は穴の周りの角運動量保存則を表わしています。
あとはこの方程式を解いて、ｒ＝０となる時刻を求めればそれが質量Ｍの質点が穴に到達する時刻となります。

お礼

ありがとうございます。
かなりわかりやすく感動しました。
もう一度自分で考えます★

回答No.1

First_Noel

それぞれの錘に注目して運動方程式を立てると良いです．
（ｘ・・）はｘの時間に関する２階微分を表すとします．

下端の錘：
ｍ（ｙ・・）＝ｍｇ－Ｔ　　Ｔ：糸の張力，下向きを正とする．
上端の錘：
Ｍ（ｘ・・）＝Ｔ

ここで注意すべきは，糸は伸びないと仮定して，
ｍのｙ変位量とＭのｘ変位量とが常に同じである点です．
従って，その微分も常に同じなので，
（ｙ・・）＝（ｘ・・）
とすれば，上２式でＴを消去して，
ｍ（ｘ・・）＝ｍｇ－Ｍ（ｘ・・）
まとめて，
（ｍ＋Ｍ）（ｘ・・）＝ｍｇ
簡単な２階常微分方程式なので，初期条件等を考慮して求まります．

運動の終了は，変位量がｌ（エル）になった時刻です．

お礼

解析力学ではない観点からも答えは出るのですね。
参考になりました。ありがとうございました★