なぜe^xを微分してもe^xなの？

質問

最近微積分に興味を持ったので今勉強しています。今部分積分等を勉強しているのですが、どうも(e^x)'=e^xになるところが納得できなくてしょうがないです。なぜ(e^x)'=e^xになるのでしょうか？

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

一般の指数関数a^xの微分を考えてみましょう。
(a^x)’=lim(h→0)(a^(x+h)-a^x)/h=a^x・lim(h→0)(a^h-1)/h
ここで、a^h-1=uとおくと、h=log(a)(1+u)
h→0のとき、u→0なので、
(a^x)’=a^x・lim(u→0)(u/log(a)(1+u))
=a^x・lim(u→0)(1/log(a)(1+u)^(1/u))=a^x・(1/log(a)e)
よって、a=eのときは、log(e)e=1なので、
(e^x)’=e^xとなる。
lim(t→∞)(1+1/t)^t=eとなることは既知としましたが。
要するに、e=lim(n→∞)(1+1/n)^nで定義すると、(a^x)’=a^xとなる
aはeに限られるということが証明されるのです。
eを(e^x)’=e^xを満たすもの、と定義しても逆に
e=lim(n→∞)(1+1/n)^nが示され、どこを定義に持ってくるかは、
自由度があると思います。
e=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+…を定義としても良いと思います。
歴史的には、e=lim(n→∞)(1+1/n)^nを定義とするのが自然と思います。

お礼

いろいろな定義の仕方があるんですね。とてもよく理解できました。

回答No.3

chiezo2005

これが指数関数の定義と言ってしまえばそれまでなのですが、
定数eの定義から導出の仕方を教えてほしいというのが
質問者さんのご質問のように思います。

以下のページの式の導出を追いかけていけば、eの定義からの関係が
わかると思います。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/henkan.cgi?target=/math/category/bibun/iroirona-kansuu-no-doukansuu.html

お礼

ありがとうございます。いままで式を変形してlim(h→0)((e^h-1)/h)=1となるところまで持ってきたのですがそっから先がわかりませんでした。でもリンク先をみてすぐわかりました。ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

そうなるように定数 e を決めたのじゃよ。

>なぜ(e^x)'=e^xになるのでしょうか？
もちろん、微分の定義にもとづいた計算ができた上での質問ですよね？

回答No.1

happy2bhardcore

そういう風に定義されているからです。