α(x)=x+[x]の時∫[1..3]e^xdα(x)と∫[x/√2]dα(x)の値を求めよ

質問

下記の計算に取り組んでいます。

[例]∫[0..2]e^xd[x]([ ]はガウスの記号)を計算せよ。
[解]
x∈[0,2]に対して
[x]=I(x-1)+I(x-2)なので
∫[0..2]e^xd[x]=e^1+e^2

を参考にして,(Iはジャンプ関数?)

[問]α(x)=x+[x] とする時,
[解]
∫[1..3]e^xdα(x)
と
∫[0..5/2][x/√2]dα(x)
の値を求めよ。

前半は
x∈[1,3]に対して
α(x)=x+I(x-2)+I(x-3)なので
∫[1..3]e^xdα(x)=∫[1..2]e^xdα(x)+∫[2..3]e^xdα(x)(∵Riemann-Stieltjes積分の性質)
=[e^x]^(2+2)_(1+1)+[e^x]^(3+3)_(2+2)(∵x=1の時x+I(x-1)=1+1,x=2の時x+I(x-1)=2+2)
=e^4-e^2+e^6-e^4=e^6-e^2

後半は
x∈[0..5/2]に対して
α(x)=x+I(x-1)+I(x-2)なので
∫[0..5/2][x/√2]dα(x)=
∫[0..1][x/√2]dα(x)+∫[1..2][x/√2]dα(x)+∫[2..5/2][x/√2]dα(x)(∵Riemann-Stieltjes積分の性質)
=[[x/√2]]^(1+1)_(0+0)+[[x/√2]]^(2+2)_(1+1)+[[x/√2]]^(5/2+2)_(2+2)
=[1.414]-[0]+[2.828]-[1.414]+[3.181]-[2.828]
=4-0+2-1+3-2=6

としてみたのですが自信がありません。
どのようにして解いたらいいのでしょうか?

回答No.4

Tacosan

私も自信がそんなにあるわけではありませんが, 2つ目は
α(x) = I(x-1) + I(x-2)
じゃないかなぁ? I(x-5/2) が不要のような気がします.

お礼

ご指摘誠に有難うございます。

> 私も自信がそんなにあるわけではありませんが, 2つ目は
> α(x) = I(x-1) + I(x-2)
> じゃないかなぁ? I(x-5/2) が不要のような気がします.

[0]=0,[0.5]=0,[1]=0,[1.5]=1,[2]=2,[2/5]=2
I(0-1)+I(0-2)=0,I(0.5-1)+I(0.5-2)=0,
I(1-1)+I(1-2)=1+0=1,
I(1.5-1)+I(1.5-2)=1+0=1,
I(2-1)+I(2-2)=1+1=2,
I(5/2-1)+I(5/2-2)=1+1=2
で確かにそうですね。I(x-5/2)は不要ですね。

、、、という訳で2つ目について
∫[0..5/2][x/√2]dα(x)=∫[0..5/2][x/√2]d(x+[x])
=∫[0..5/2][x/√2]dx+∫[0..5/2][x/√2]d[x](∵Riemann-Stieltjesの性質)
=5/2-√2+∫[0..5/2][x/√2]d[x]
=5/2-√2+∫[0..5/2][x/√2]d(I(x-1)+I(x-2))
(但し,単位ステップ関数I(x-t)=1(x≧tの時),0(x≦tの時))
=5/2-√2+∫[0..5/2][x/√2](δ(x-1)+δ(x-2))dx (∵δ関数の定義)
=5/2-√2+[1/√2]+[2/√2]
=5/2-√2+[0.707]+[1.414]
=5/2-√2+0+1=7/2-√2

となるのですね!!

回答No.3

Tacosan

I(x) は単位ステップ関数で x < 0, x ≧ 0 なら 1 です. で, これを「微分」すると δ関数が現れて dI(x) = δ(x) dx です. この δ関数には ∫[a..b] f(x) δ(x-t) dx = f(t) という性質があります (積分範囲は a < t ≦ b を満たす任意の範囲でいいはず).
このことと 0 ≦ x ≦ 2 に対して [x] = I(x-1) + I(x-2) と書けることを使うと
∫[0..2] e^x d[x] = ∫[0..2] e^x [δ(x-1) + δ(x-2)] dx = (被積分関数を 2つにばらしてそれぞれ δ関数の性質を使い) = e^1 + e^2
が得られます.
また, d は線形演算子なので (形式的に) d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x) と書けます.
これだけ使うと最初の積分をばらしていけて,
∫[1..3] e^x dα(x) = ∫[1..3] e^x d(x + [x]) = ∫[1..3] e^x dx + ∫[1..3] e^x d[x]
= e^3 - e^1 + e^3 + e^2 = 2e^3 + e^2 - e^1
になるんじゃないかな (後半の積分ははしょってますが ∫[0..2] e^x d[x] = e^2 + e^1 から類推できると思います: δ関数まで還元してもいいけど).
後半の方ですが, 質問のところで挙げられた方法では
∫[0..5/2] [x/√2] dα(x) = ∫[0..1] [x/√2] dα(x) + ∫[1..2] [x/√2] dα(x) + ∫[2..5/2] [x/√2] dα(x)
とばらしてから項ごとに評価してますよね. このうち右辺の第1項が 0 になるという指摘です. 全体が 0 になるということではありません. 被積分関数の [x/√2] は [0..5/2] で 0 か 1 しかとらないので, 0 のところは無視して
∫[0..5/2] [x/√2] dα(x) = ∫[√2..5/2] dα(x)
まで簡単にできます.
ついでですが, 積分範囲で非負の関数 f(x) と単調増加な関数 P(x) に対して
∫f(x) dP(x) ≧ 0
です. ですから, ∫[0..5/2] [x/√2] dα(x) = -1 と書いたらその時点で「あれ?」と思うべきだと思います.

お礼

詳細なご説明誠に有難うございます。

> I(x) は単位ステップ関数で x < 0, x ≧ 0 なら 1 です. で, これを「微分」する
> と δ関数が現れて dI(x) = δ(x) dx です. この δ関数には ∫[a..b] f(x)
：
> です. ですから, ∫[0..5/2] [x/√2] dα(x) = -1 と書いたらその時点で「あれ?」
> と思うべきだと思います.

1つ目について
∫[1..3]e^xdα(x)=∫[1..3]e^x(x+[x])
=∫[1..3]e^xdx+∫[1..3]e^xd[x](∵Riemann-Stieltjesの性質)
=e^3-e+∫[1..3]e^xd[x]
=e^3-e+∫[1..3]e^xd(I(x-2)+I(x-3))
(但し,単位ステップ関数I(x-t)=1(x≧tの時),0(x≦tの時))
=e^3-e+∫[1..3]e^x(δ(x-2)+δ(x-3))dx (∵δ関数の定義)
=e^3-e+e^2+e^3 (∵∫[a..b]f(x)δ(x-t)dx=f(t)(但しa<t≦b))

2つ目について
∫[0..5/2][x/√2]dα(x)=∫[0..5/2][x/√2]d(x+[x])
=∫[0..5/2][x/√2]dx+∫[0..5/2][x/√2]d[x](∵Riemann-Stieltjesの性質)
=5/2-√2+∫[0..5/2][x/√2]d[x]
=5/2-√2+∫[0..5/2][x/√2]d(I(x-1)+I(x-2)+I(x-5/2))
(但し,単位ステップ関数I(x-t)=1(x≧tの時),0(x≦tの時))
=5/2-√2+∫[0..5/2][x/√2](δ(x-1)+δ(x-2)+δ(x-5/2))dx (∵δ関数の定義)
=5/2-√2+[1/√2]+[2/√2]+[5/2/√2]
=5/2-√2+[0.707]+[1.414]+[1.748]
=5/2-√2+0+1+1=9/2-√2

でいいのですね(多分)。
ちょっと自信ないのですが勘違いしてましてらご指摘ください。

回答No.2

Tacosan

そうそう, とても気になった点があります:
2つ目の方の被積分関数, [x/√2] の [・] はガウス記号でいいでしょうか. もしそうなら,
∫[0..1][x/√2]dα(x) = 0
でなければなりません. なぜならこの範囲で [x/√2] = 0 だから....

お礼

有難うございます。

> そうそう, とても気になった点があります:
> 2つ目の方の被積分関数, [x/√2] の [・] はガウス記号でいいでしょうか. もしそ
> うなら,
> ∫[0..1][x/√2]dα(x) = 0
> でなければなりません. なぜならこの範囲で [x/√2] = 0 だから....

ん?　積分範囲は0から5/2までとなっておりますが…

回答No.1

Tacosan

えと....
α(x) = x + [x]
から
dα(x) = dx + d[x]
とできるような気がします.
これでよければ,
d[x] = Σδ(x-t) dx (総和は積分範囲が [a, b] なら「a より大きく b 以下の整数」)
となるので δ関数の積分
∫f(x) δ(x-t) dx = f(t)
を使えば簡単なような気がします.

お礼

有難うございます。

> えと....
> α(x) = x + [x]
> から
> dα(x) = dx + d[x]
> とできるような気がします.
> これでよければ,
> d[x] = Σδ(x-t) dx (総和は積分範囲が [a, b] なら「a より大きく b 以下の整
> 数」)
> となるので δ関数の積分
> ∫f(x) δ(x-t) dx = f(t)
> を使えば簡単なような気がします.

そうしますと
∫[0..2]e^xd[x]=∫[1..3]e^xδ(x-t)dx=[e^t]^3_1=e^3-e^1

∫[0..5/2][x/√2]dα(x)=∫[0..5/2][x/√2]δ(x-t)dx=[[x/√2]]^5/2_0
=[0/√2]-[5/2/√2]=[0]-[1.767]=-1

となるのでしょうか??