L^2上の線形作用素

質問

f∈L^2(0,∞)に対して
Tf(x):=(1/x) ∫(0,x) f(s) ds
を定義するときTf∈L^2(0,∞)を示したい(あるいはほとんど同じことですがTの有界性を示したい)のですが、上の積分範囲を色々と分けて(あるMで区切ってMを後から選んだりなど)評価しても中々上手くいきません。多分簡単に示せる気がしますがどなたか分かりましたらご教示よろしくお願いします。

回答No.2

ojisan7

>>f∈L^2のとき∫(0,x) f(s) dsがx=0の近傍で√x よりも真に小さく挙動してるのでしょうか？

そういうことではなく、TfはL^2(0,∞)には属さないということです。つまり、Tfは２乗可積分関数ではないということです。

∫(0,∞)|Tf(x)|^2dx=∫(0,∞)[(1/x^2)|∫(0,x) f(s) ds|^2 ]dx
は一般的（ただ、f∈L^2というだけでは）には有界ではないということです。Tfが２乗可積分関数にならないｆの例はいくらでもあるんではないですか。かえって、Tfが２乗可積分関数となるf∈L^2(0,∞)を探し出す方が大変ではないでしょうか。

お礼

自己解決しました。Tfは2乗可積分です。そして作用素ノルムはおそらく2です。K(x,t)=χ_[0,x](t)/xと定めると（χは区間上特性関数）Tの核でありこれはL^2に属しませんが次のようにしてTfのL^2ノルムを評価できました(積分作用素に対するSchur testを考えて以下の方法を見つけることができました)：
K(x,t)f(t)={√K/(√√t)} {√K √√t f(t)} と見てコーシーシュワルツを適用後積分順序の変更で(∥Tf∥_2)^2 ≦4 (∥f∥_2)^2、すなわちTは有界かつノルムは2以下。おそらくノルムは2だと思われます（f=χ_[0,n]など)。

補足

再度ありがとうございます。Tfが２乗可積分にならないfの例を挙げていただけると助かるのですがよければお願いします。

回答No.1

ojisan7

Tf∈L^2(0,∞)を示したいということで、試行錯誤されているようですが、Tf(x)は台(Support)がコンパクトではありませんし、そもそも２乗可積分ではありません。
(1/x) ∫(0,x) f(s) ds
の(1/x)が邪魔ですよね。

補足

ありがとうございます。反例はありますでしょうか？最初f(s)=1/(s+1)などが反例かと思いましたが実はTfがL^2の元になってます。f∈L^2のとき∫(0,x) f(s) dsがx=0の近傍で√x よりも真に小さく挙動してるのでしょうか？