一階線形微分方程式の解の挙動

質問

x(t)+a(t)∫[s=0,t] x(s)ds =b(t) (t>=0)
は、a(t),b(t) がともに連続実数値で有界、
inf[t>=0]a(t)>0, lim[t->∞]b(t)=0 の時

lim[t->∞]x(t)=0
となるらしいんですが、証明できません。a(t)が定数の時はわかるんですけど、今は収束するかどうかすらわからないし‥。与えられた積分方程式は実はただの一階線形微分方程式になるんで、簡単かなと思ったんですけど手強いです。助けてください。

回答No.3

keyguy

x(t)=b(t)-a(t)・exp(-∫(0<s<t)・a(s)・ds)・∫(0<s<t)・b(s)・exp(∫(0<p<s)・a(p)・dp)・ds
より
|x(t)|
≦｜b(t)｜+a(t)・∫(0<s<t)・|b(s)|・exp(-∫(s<p<t)・a(p)・dp)・ds

仮定により0<tにおいて正数a,Aがありa≦a(t)≦Aだから
|x(t)|
≦｜b(t)｜+A・∫(0<s<t)・|b(s)|・exp(-a・(t-s))・ds
すなわち
|x(t)|≦｜b(t)｜+A・exp(-a・t)・∫(0<s<t)・|b(s)|・exp(a・s)・ds

lim(n→∞)・exp(-n)・Σ(k=1～n)・b[k]・exp(k)=0
だからこれは→0でしょう

お礼

ありがとうございます。最後の積分を級数に置き換えて評価する所の式は全く知りませんでした。考えてみます。どうもありがとうございました。

回答No.2

keyguy

x(t)=b(t)-a(t)・exp(-∫(0<s<t)・a(s)・ds)・∫(0<s<t)・b(s)・exp(∫(0<p<s)・a(p)・dp)・ds
より
|x(t)|
≦｜b(t)｜+a(t)・∫(0<s<t)・|b(s)|・exp(-∫(s<p<t)・a(p)・dp)・ds

仮定により0<tにおいて正数a,Aがありa≦b(t)≦Aだから
|x(t)|
≦｜b(t)｜+A・∫(0<s<t)・|b(s)|・exp(-a・(t-s))・ds
すなわち
|x(t)|≦｜b(t)｜+A・exp(-a・t)・∫(0<s<t)・|b(s)|・exp(a・s)・ds

lim(n→∞)・b[n]→0のとき
lim(n→∞)・exp(-n)・Σ(k=1～n)・b[k]・exp(k)→0
だからこれは→0でしょう

回答No.1

keyguy

x(t)=b(t)-a(t)・exp(-∫(0<s<t)・a(s)・ds)・∫(0<s<t)・b(s)・exp(∫(0<p<s)・a(p)・dp)・ds