無限等比級数について

質問

1-√5+5-5√5+・・・のとき、初項1、公比-√5

発散条件として、｜-√5｜≧1の表記にならないのかと思ったのですが、答えは｜-√5｜＞1になっています。どうして=が必要ないの？

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

ご存じとは思いますが念のため。
一般論として，無限等比級数
S=a+ar+ar^2+ar^3+……+ar^n+……
の収束発散については次のようになります。
①|r|<1のとき収束
②|r|>1のとき発散
③r=1のとき発散
④r=-1のとき振動

根拠は次の通り
Sの部分和(初めのn項の和)をS(n)とする。(つまり等比数列の和)
r≠1のとき，S(n)=a(1-r^n)/(1-r)
r=1のとき，S(n)=na
となります。
ここでr^nは
①|r|<1のとき0に収束
②|r|>1のとき発散
（特にr>1の時はr^n→∞，r<-1の時は+,-と符号を変えながら|r|^n→∞)
③r=1のとき発散　(S(n)=na→∞)
④r=-1のとき振動　(nが奇数の時S(n)=a，nが偶数の時S(n)=0）
となります。

③④から解るとおり，公比が1と-1では振る舞いが違うのです。

だから≧1のように等号を入れなかったのですね。
（≧は「＞または＝」ですから「＞」が成り立てば真なのですけどね）