無限等比級数のような式なのですが…

質問

α*0.997+(2α*0.03*0.997)+(3α*0.03^2*0.997)+(4α*0.03^3+0.997)...
これをどうやって単項式にすればいいか分かりません。
0.898*Σ(k=1,∞)(α*0.102^k-1*k)まではいけるのですが、
kが定数ではないので自分の知っている無限等比級数の公式が使えません。どなたかご回答よろしくお願いします。

回答No.2

abyss-sym · ベストアンサー

Sn=α*0.997+(2α*0.03*0.997)+(3α*0.03^2*0.997)+・・・+(nα*0.03^(n-1)*0.997)
0.03Sn=α*0.997*0.03+(2α*0.03^2*0.997)+・・・+(n-1)α0.03^(n-1)0.997+nα0.03^n*0.997

Sn-0.03Sn=0.997α(1+0.03+0.03^2+・・・+0.03^(n-1))-nα0.03^n*0.997
あとは、公式をつかえばいけるはずです。

この無限級数のように、(等差数列)×(等比数列)型のものを考える場合、等比数列の公比をｒとすると、Sn－ｒSnを使って解くことができます。

お礼

Sn=α*0.997+(2α*0.03*0.997)+(3α*0.03^2*0.997)+・・・+(nα*0.03^(n-1)*0.997)
0.03Sn=α*0.997*0.03+(2α*0.03^2*0.997)+・・・+(n-1)α0.03^(n-1)0.997+nα0.03^n*0.997
のトリックはそういえばどこかで習った気が…私の復習不足でした。丁寧なご回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ...
の両辺を x で微分してみる.

お礼

微分したところ、普通の無限等比級数を求める公式と同じになりました…そして、単項式に直せました。ありがとうございました。
教科書に載っていないタイプの公式ですが、名前はあるんでしょうかね。