デルタ関数の性質

質問

C=1/-a(E_f)*∫(-∞,∞)*bE/E_f(∂f(E)/∂E)dE　　　∂f(E)/∂E：フェルミ分布を微分したもの。E_ｆ：フェルミエネルギー
の式を
　　　デルタ関数の性質
　　　　　　　∫(-∞,∞)ｆ（ξ）δ(ξ-x)dξ＝f(x)
を使って、
C=ｂf(E_f)/a(E_f)にしたいのですが、デルタ関数がよくわからないためとけませんでした。

わかる方がいれば、教えてください。
お願いします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

> 私の持っている本では、
> 　∫(-∞,∞)*（bE/E_f）＊(∂f(E)/∂E)dEで載っていたので

そりゃ，私は本を見ているわけではないので，そこはわかりませんよ．
b は定数なのか，それとも E の関数なのか，
そこらへんは前後関係から na-asuka さんが判断するより仕方がありません．
最後の式に b(E_f) という表現があるところを見ると，
ｂ は E の関数で本来 b(E) と書くべきもの，
つまり，積分のところは
(1)　　∫(-∞,∞) b(E) (E/E_f) (∂f(E)/∂E) dE
ではないかという印象を受けます．

> (5)　　∫ g(x) δ(x) dx = g(0)
> の性質から、- b(E_f)となるのは何故ですか？
> ーはどのように求められたのですか？
> （０）は、（ｇ（０）の所）
> 何故、E_fなのですか？

- (負号) は
(2)　　- ∂f(E)/∂E = δ(E-E_f)
だから(頭の負号)

g の中身と δ の中身とがずれている場合は
(3)　　∫ g(x) δ(x-c) dx = g(c)
です．
要するに，δの中身がゼロになるような x の値を g の中身の x に代入すればよい，ということです．
δの中身が x^2 - c^2 等のときについては
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=415731
の私の回答をご覧下さい．

つまり，(1)は(2)を考えると
(4)　　- ∫(-∞,∞) b(E) (E/E_f) δ(E-E_f) dE
ですから，頭の負号は別にして，(3)で
(5)　　g(x)　　　 ⇔　　b(E) (E/E_f)
(6)　　δ(x-c)　　⇔　　δ(E-E_f)
(7)　　x　　　　　⇔　　E
になっています．
したがって
(8)　　- ∫(-∞,∞) b(E) (E/E_f) δ(E-E_f) dE = - b(E_f) (E_f/E_f) = - b(E_f)

それから，本は必ずしも懇切丁寧に書いてあるとは限りません．
b が E の関数でも b(E) と書かずに，単に b と書いたりすることはよくあります．
レベルが高くなればなるほどそういう傾向があります．
「こういうレベルのことやる人なら，そんなこと当然わかるでしょ」
というわけです．

お礼

おそくなりました。誠に申し訳ございません。
いろいろ細かい質問に答えていだだき
ありがとうございました。
また、よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund

∫(-∞,∞)*bE/E_f(∂f(E)/∂E)dE
は
∫(-∞,∞) b(E) (E/E_f) (∂f(E)/∂E) dE
ですか，それとも
∫(-∞,∞) b(E_f) (E/E_f) (∂f(E)/∂E) dE
ですか．
ま，いずれにしろ，結果には関係ないですが．

T=0 でのフェルミ分布関数は，階段関数
(1)　　f(E) = 1　　(E<E_f)
　　　　　　= 0　　(E>E_f)
ですから，
(2)　　- ∂f(E)/∂E = δ(E-E_f)
です．
実際，
(3)　　- ∂f(E)/∂E = 0 (E≠E_f)
　　　 - ∂f(E)/∂E = ∞ (E＝E_f)
で，
(4)　　∫{0～∞} -{∂f(E)/∂E} dE = f(0) - f(∞) = 1 - 0 = 1
で，δ関数の性質を満たしています．

δ関数は
(5)　　∫ g(x) δ(x) dx = g(0)
の性質を持っていますから，
∫(-∞,∞) b(E) (E/E_f) (∂f(E)/∂E) dE = - b(E_f)
∫(-∞,∞) b(E_f) (E/E_f) (∂f(E)/∂E) dE = - b(E_f)
は明らかでしょう．

補足

大変詳しい説明ありがとうございました。
大変申し訳ないのですが
＞∫(-∞,∞)*（bE/E_f）＊(∂f(E)/∂E)dE （←（）を忘れていました。）
　 は
　∫(-∞,∞) b(E) (E/E_f) (∂f(E)/∂E) dE
　ですか，それとも
　∫(-∞,∞) b(E_f) (E/E_f) (∂f(E)/∂E) dE ですか？
とあるのですけど、私の持っている本では、
　∫(-∞,∞)*（bE/E_f）＊(∂f(E)/∂E)dEで載っていたので
（bE/E_f）でもb(E) (E/E_f)やb(E_f) (E/E_f)に展開するのでしょうか？
それはどのようにするのでしょうか？

(5)　　∫ g(x) δ(x) dx = g(0)
の性質から、- b(E_f)となるのは何故ですか？
ーはどのように求められたのですか？
（０）は、（ｇ（０）の所）
何故、E_fなのですか？

質問が多くてまことにもうしわけないです。
ご指導の程、宜しくお願いします。

回答No.1

siegmund

デルタ関数の問題というよりは，
フェルミ分布関数の性質や状況把握に問題があるような気がします．

f が二重の意味で使われていたりして，よく分からないとこともありますが，
絶対零度(T=0)の場合の話と違いますか？
それなら，フェルミ分布関数は階段関数になりますから
∂f(E)/∂E = -δ(E - E_f)
です．
最後の式も f(E_f) が残っていて，よくわかりませんね．
この f がフェルミ分布関数なら， f(E_f) = 1/2 です．

補足

すいません。最後の式に間違いがありました。

C=ｂ(E_f)/a(E_f)です。

＞絶対零度(T=0)の場合の話と違いますか？

すいません。よくわりません。この式は分布関数としてフェルミ統計を用いた電気伝導理論の式です。

C=1/-a(E_f)*∫(-∞,∞)*bE/E_f(∂f(E)/∂E)dEー（１）
をデルタ関数用いると
（１）式の∫(-∞,∞)*bE/E_f(∂f(E)/∂E)dEの所が
ーｂ(E_f)と変形でき、C=ｂ(E_f)/a(E_f)となるはずですが、
デルタ関数の性質を勉強してもどう計算されたか
どうしてもわかりません。

ご指導の方、宜しくお願いします。