差分方程式の証明

質問

問題文が見れなかったので再投稿します
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t^2 + P1*t + P0 = 0 が唯一の解A(≠0)を持つとき
{A^n}と{nA^n}が a_n+2 + P1*a_n+1 + P0*a_n = 0の一次独立な解であり
さらにすべての解{a_n}が{A^n},{nA^n}の一次結合で表されることを示せ
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一次独立な解という部分は解をそれぞれ代入して式を変形して=0であることを確かめられたのですが、一次結合であることを示すというのがわかりません。
どなたか助けてください。よろしくお願いします。

回答No.6

guuman

a[n+2]-(P+Q)・a[n+1]+P・Q・a[n]=0 (P≠Q)
も同じ手法でやってみろ

回答No.5

guuman

b[n+1]-b[n]=c[0]
において
n=0
n=1
n=2
として
b[1],b[2],b[3]をもとめ
求めたb[n]式に矛盾がないか見てみろ
まじめにやれよ

補足

b[n]=b[0]+nc[0]
a[n]=A^n(b[0]+nc[0])
でした

回答No.4

guuman

とどのつまり
c[n]=c[0]
やな
b[n+1]-b[n]=c[0]
がわかったしゅうことや
b[n]をb[0]とc[0]で表すとどうなる
そしてa[n]をc[0]とb[0]で表わしてみよ

補足

b[n]=n(b[0]+c[0])
a[n]=nA^n(b[0]+c[0])
でよいのでしょうか

回答No.3

guuman

右辺が0なんだから変な項はなくせ
b[n+2]-2・b[n+1]+b[n]=0
だろうが
c[n]=b[n+1]-b[n]
とおいたらどうなる

補足

c[n+1]=c[n]
となります。

回答No.2

guuman

(t-A)^2≡t^2+P1*t+P0
だから
P1=-2・A
P0=A^2
だ
問題の漸化式は次のようになる

a[n+2]-2・A・a[n+1]+A^2・a[n]=0

ここで
b[n]=A^(-n)・a[n]
とおくと上式はどうなるか補足に書け

お礼

2b[n+1]でした・・・

補足

(A^(n+2))*(b[n+2]-2b[n+21)+b[n])=0
となりました。

回答No.1

Tacosan

数列を無限次元ベクトルとみなして, その上で「一次独立」とか「一次結合」という話をするという流れでしょうね.
一次結合であることを示すのは... ん～, 帰納法?
ところで「一次独立な解である」ということは, 具体的にはどのように示しました? 単に「それぞれ代入して式を変形したら 0 になった」だけでは, 「一次独立」を示せたわけではありません.

補足

0になることを示せば良いと思っていました・・・