どのような初速度でも到達できない点の範囲（物体を投げ上げる運動）

質問

1 点 o から初速度 V で石を投げ、水平距離 x、o からの高さ y の点 P にあてることを考えた時。
（１） 求める方向と水平のつくる角をθとする。P に当たるまでの時間を t として、x，y
を t，V，g，θを用いて表す。
（２） これらから t を消去し、θを求める式を x，y，g，V を用いて表す。
（３）θを求める。
（４） どのような初速度で投げても到達できない P の範囲を図示して示す（境界の曲線の
式も求める
以上を重力加速度を g とし、摩擦や石の大きさは無視した場合の（２）～（４）の答えがわかりません。

自分がどこまで考えたのかのも書いておきます。
（１） はｘ＝ｔ・Vcosθ
　　　　　y=t・Vsinθ－(1/2)・gt^2 となる。
（２） は（１）で出た２つの式を連立させtを消去するので
ｔ＝ｘ/（Vcosθ）をy=t・Vsinθ－(1/2)・gt^2に代入するということを考え
y=Vsinθ・ｘ/（Vcosθ）－ (1/2)・ｇ{ｘ/（Vcosθ）}^2
まではわかったのですが、このあとどうしたらθを求めることができるでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.4

shkwta

No.2です。

Tを求めてθ=arctanTとすればよいのはその通りですが、お求めの解は計算間違いだと思います。

ところで、この問題の（４）は
「あるＶに対し、どのようなθで投げても到達できないx,yの範囲」だったら問題としての面白味がでるかな、と思いました（Tの二次方程式の判別式から、境界は二次曲線になります）。

回答No.3

endys-teapot

>π/2>θ>arctan(y/x)
>というのが、いくらがんばっても点Pに到達しないθの>範囲ということで理解しましたが、あっていますか？

逆ですね。(0,0)からpに限りなく直線に近く打ち放ったときが、y/xで限りなく真上に投げ上げたときがπ/2つまり90度です。

>そうするとこの場合ではたどりつけない点はx-y座標
>における”第一象限”ではありえないということにな>るでしょうか？
>
>それと
>＞摩擦がないので、玉はホップしませんよね
>というのは「水平方向に減衰させる力働かない」とい>うことですよね？

ほぼ直線に届くよりy/xよりも低い角度で打ち出すと重力加速度で引っ張られている限り「浮き上がる」ことはないので、pには届きません。ソフトボールのようにホップするには浮力が必要ですが、摩擦がないという前提なので、空気の渦はできないから浮きようがないなと解釈いたしました。

お礼

回答ありがとうございます。

自分が理解できていない点がよくわかりました。

＞>π/2>θ>arctan(y/x)
＞>というのが、いくらがんばっても点Pに到達しないθ＞の>範囲ということで理解しましたが、あっていますか？
＞逆ですね。(0,0)からpに限りなく直線に近く打ち放ったときが、y/xで限りなく真上に投げ上げたときがπ/2つまり90度です。

なるほどつまり、arctan(y/x)＞θ
で打ち出すとどんな初速度でも到達できないということになりますね。

＞＞ホップしないということは水平方向に減衰させる力働かない

恥ずかしいくらい私が頓珍漢なことを言っていたことがわかりました。これは空気抵抗により、理想で描く放物線とくらべ上方に物体が移動してしまうということですよね。

ということは、点Ｐを決めれば”ｘ軸と直線oPがなす角度θ”よりも小さい角度でない限り必ず点Ｐに到達させることができるということであっていますか？（確証を得たいために、疑問の文ばかりですみません）

問題の意図からすると点Ｐは固定されているわけではないので、任意の点Ｐに到達する角度が存在する。
ｘ≧０かつｙ≧０が点Ｐの位置に認めてよい範囲なら（０を含んでよいのかどうか、０＞ｘ、０＞ｙは含めないのかこの辺りが問題文に与えられていないためあいまいですが）
θのとりうる範囲が
π/2≧θ≧０
となり、結局
「到達できない点Ｐは存在しない」というのが結論になるということでよろしいでしょうか。

問題の意図を考えると存在しそうな気もするのですが、回答者のみなさんのお答えからそう理解しています。

まだ、受付はしています。

回答No.2

shkwta

＞このあとどうしたらθを求めることができるでしょうか。

tanθ=T とおくことにします。そうすると、三角関数の公式により、

(sinθ)/(cosθ)=T
1/((cosθ)^2)=1 + T^2

の関係がありますから、

y=Vsinθ・ｘ/（Vcosθ）－ (1/2)・ｇ{ｘ/（Vcosθ）}^2

はTの二次方程式になりますので、容易に解けます。
-------------------
＞どのような初速度で投げても到達できない P の範囲を図示して示す

これの意味がわからないのですが、θが何でもいいのであれば、上の二次方程式の判別式から

V^4-2gyV^2-(gx)^2＞0
つまり(V^2-gy)^2-(x^2+y^2)g^2＞0だから、Vを十分大きくすれば、対応するθが存在します（つまり、x,yが何であっても、Vとθを適切に選べば到達できる）。

θが固定なら、上の二次方程式をV^2の一次方程式と見なして解くと

V^2 = ((1+T^2)gx^2/2)/(Tx-y)

分子は正だから、Tx-y＞0, つまり T＞y/xとなってNo.1様の結果が得られます。
これでは問題として面白くないので、何か別の条件があるような気がするのですがどうでしょう。

お礼

どうもありがとうございます！
三角関数を（この場合tanθを）文字に置き換えて
式変形するとうまくいくことがわかりました。

このばあいだとＴを求めて
（Ｔ＝－V/ｇｘ±√（（V＾２－２ｙ－ｇｘ＾２）/ｇｘ＾２）
arctanＴを計算するとθを求めることができるということでよろしいでしょうか。

点Ｐの座標（x,y）と初速度Vが決まれば点Ｐへ到達する角度は２つ求まり、初速度Vをを大きくしていけばθの角度で到達できない点は存在しない・・となるということですね？

これはある物理の演習問題を全部載せました。別の条件は書かれていませんでした。

自分で計算をしてみるのに時間がかかりこのお礼の投稿の順序が前後してしまいましてすみません。

回答No.1

endys-teapot

単純な放物線運動で、0,0と距離ｘ高さｙの間
を通過する2次曲線なら、単純に
tanθ＞y/x
だけが制約のような気がします。上限は垂直なんで
π/2>θ>arctan(y/x)

だと思うのですが、
摩擦がないので、玉はホップしませんよね。
x,yを変数にして包絡線の関数を求めるのなら
別の話ですね。
（初回答なもので、頓珍漢だったらすいません）

お礼

なるほど！私実はも初めての質問です・
お答えいただきどうもありがとうございました。

tanθ＝y/x
なので、
arctan(y/x)＝θ
ということがあなたの回答からわかったのですが
（２）の文章中にあるように
「tを消去して、θを求める式をx,y,g,Vを用いて表す」のは、どうしたらいいんでしょうか。
自分の力ではうまく式変形ができません。

π/2>θ>arctan(y/x)
というのが、いくらがんばっても点Pに到達しないθの範囲ということで理解しましたが、あっていますか？

そうするとこの場合ではたどりつけない点はx-y座標における”第一象限”ではありえないということになるでしょうか？

それと
＞摩擦がないので、玉はホップしませんよね
というのは「水平方向に減衰させる力働かない」ということですよね？

頓珍漢はわたくしの方かもしれません。どうぞお願いします。