Σc_(i)＾2 を最小化するc_i

質問

ある定数の和Σc_(i)=1　(i=1,2,3...,n)が成り立つ時、Σc_(i)^2を最小にするc_iが1/nになるのはなぜでしょうか？御回答よろしくお願いします。

回答No.9

noname#75273 · ベストアンサー

シュワルツの不等式を知っていますか。

(a + b + c) (x + y + z) ≧ (ax + by + cz)^2　が成立します。

また、n 個に拡張したときは、
{ Σ[i = 1 ～ n] (a_i)^2 } * { Σ[i = 1 ～ n] (x_i)^2 } ≧ { Σ[i = 1 ～ n] (a_i * x_i)^2 } が成立します。

本問題について考えると上記公式に
a_i に 1 を代入 　　x_i = c_i を代入　すると、

{ 1^2 * n } * { Σ( c_i )^2 } ≧ { Σ[i = 1 ～ n] (1 * c_i) ]

よって、 n * Σ( c_i )^2 ≧ 1
よって、 Σ( c_i )^2 ≧ 1 / n　■

回答No.8

koko_u_

ラグランジュの未定乗数法を使うにせよ、公式に当て嵌めるだけでは「なぜ」に答えることはままならないでしょう。

今のこの特定の状況が数学的に何を意味しているのかを考える必要があります。

回答No.7

guuman

補足の

z=1-x-yをx^2+y^2+z^2に代入して整理すると
x^2+y^2+z^2=2{x+(y-1)/2}^2 +3/2(y-1/3)^2 + 1/3より
x=y=z=1/3 の時x^2+y^2+z^2の最小値は1/3となる。

は問いかけの趣旨が分かっていない
３個をn個に拡張できるような一般性を持った解き方を要求している
ことが裏にある
できればよいというものではない
機械的システマティックにできるのがベターということだろうから
やはり文明の利器
ラグランジュの未定乗数法を使うことを薦める
技巧を凝らさずそれで解いてみい

回答No.6

nettiw

↑a・↑c≦|↑a||↑c|
a1c1+a2c2+・・・+ancn
≦√[(a1)^2+(a2)^2+・・・+(an)^2]√[(c1)^2+(c2)^2+・・・+(cn)^2]

a1=a2=・・・=an=1
c1+c2+・・・+cn=1
1≦√n・√[(c1)^2+(c2)^2+・・・+(cn)^2]
1≦n・[(c1)^2+(c2)^2+・・・+(cn)^2]
1/n≦[(c1)^2+(c2)^2+・・・+(cn)^2]

等号条件、
c1/a1=c2/a2=・・・=cn/an
c1=c2=・・・=cn より、
c(i)=1/n

という話なんでしょうか。

回答No.5

quaRk-6

＃５です。
回答の訂正・補足をお許しください。
「c=k/3」→「a=b=c=k/3」
あと、ちゃんと証明しようと思ったらa,b,cでなくc1,c2,c3などを用いないといけませんね。
すみません。

回答No.4

quaRk-6

まずa+b=kのときのa^2+b^2を考えると
a^2+b^2=a^2+(k-a)^2
=2a^2-2ka+k^2
=2(a-k/2)^2+(k^2)/2
だからa^2+b^2はa=b=2/kのとき最小値(k^2)/2をとる…(1)
次にa+b+c=kのときのa^2+b^2+c^2を考えると
a^2+b^2に関して、(1)より最小値は{(k-c)^2}/2
よってa^2+b^2+c^2の最小値は{(k-c)^2}/2+c^2の最小値と同じなので
{(k-c)^2}/2+c^2=(3/2)c^2-kc+(k^2)/2
=(3/2)(c-k/3)^2+(k^2)/3より
c=k/3のとき最小値(k^2)/3をとる。…(2)
以下同様に考えて、数学的帰納法を用いた証明にまとめて、さいごに(1),(2),…にk=1を代入すれば、証明はできます。
　しかしながら、証明は必ずしも「なぜ」という素朴な疑問に答えてくれないのも確かです。文字式の変形など、自然な感覚とはかけ離れていることもしばしば。
　とはいえ、この「なぜ」という疑問に満足に答えられるだけの技量は持ってないので、とりあえず証明の方法のみ述べさせていただきました。

お礼

数学的帰納法での証明をご丁寧に回答していただきありがとうございます。参考になりました。

回答No.3

noname#75273

コーシー・シュワルツ・・・・

回答No.2

incd

一言で言うと凸関数だからかな。
各c(i)を２乗していますよね。放物線を描けば分かるのですが、変化の割合がだんだん大きくなっていくので、一箇所に集中している方が全体が大きくなるんです。

なぜと言われるとこういう感じですが、計算によって1/nを求めるには、ラグランジュの未定乗数法などを使って最小化問題を解きます。

回答No.1

koko_u_

なぜか。難しいこと聞くね。

ひとまず証明してから理由を考えようか。その中で色々前提条件などが明らかになるだろう。
証明を補足にどうぞ。

補足

ラグランジュ関数をＬ(c_1,c_2,...c_n;λ)=Σc_i^2+λ(1-Σc_i)
(λ∈Ｒ)として最適解の候補を求める。
∂L/∂λ　=1-Σc_i =0　　...(1)
∂L/∂c_i =2c_i -λ=0 ...(2)

(2)よりc_i =λ/2 これを(1)に代入するとλ=2/n,c_i =1/n
故にΣc_(i)＾2 を最小化するc_iは1/nとなりました。