２次関数の最大・最小

質問

２つの円 C1、C2 の円周の長さの和が２πのとき
C1、C2の面積の和の最小値を求めよ。

これが問題です。
２つの円の長さが２πってことは、
C1の円周をｘで置き換えて、C2の円周を２π-ｘとするわけですよね？
でも面積を出すためだったら、ｒ・ｒ・πですよね？
円周を出す式から２つの円の半径の式を出したとしても
結局、私には答えは愚か頂点の座標すら出せません(；´Д`A ```

この２次関数のｙの式すら導きだせません。
C1の円周をｘと置き換えることすら間違っているのかもしれないですけど…。

どなたか教えていただけませんか？
お願いします!!!!ペコリ(o_ _)ｏ))

回答No.1

step-by-step · ベストアンサー

円周の和が２πなので二つの円の半径の和は１。
片方の半径をｘとするともう片方の半径は１－ｘ。
より二つの円の面積の和は（xの二乗＋１－xの二乗）π。
これでｘの二次方程式になるでしょ？xの値の範囲は０から２やから最小値はｘが２分の１のとき２分の１π。

ｘの範囲は良く考えるといらないですね。ｙは無理に出そうとしなくても二次方程式を出してから考えてみたらよいのでは？

お礼

円周をｘとおくよりよっぽど簡単ですね！
ありがとうございました(o*。_。)o

回答No.3

pyon1956

最大最小は、２次関数の時は特に微分を用いなくても平方完成、あるいは「頂点の座標を求める公式」で簡単に出せます。というわけであなたが数Iで解くのであれば、#1さんのやりかたを奨めます（数IIが終わっているなら#2さんのやりかたも参考に。まあ少々この問題には道具立てが大きすぎるかもしれませんが・・・・）
ただし、#1さんのxの範囲は
0＜ｘ＜1でないといけません。2つの円とことわっているから、どちらの半径も正でないとだめ、ということです。
平方完成のやりかたはどの教科書にも載っていますね。

お礼

確かに半径ですから0＜ｘ＜1になりますね～。
どうもありがとうございましたm(_ _"m)

回答No.2

right_wing

円周を求める式は直径*πですね。
今回、C1の円周をxとおいたわけですからC1の半径は x/2π です。
ですから、C1の円の面積は(x/2π)^2*πになります。
次にC2の円周は2π-xですから、C2の半径は (2π-x)/2π です。
ですから、C2の円の面積は((2π-x)/2π)^2*πになります。
ここで求めたいのはC1とC2の面積の和ですので、面積をyとして、
y=(x/2π)^2*π+((2π-x)/2π)^2*πとなります。
後は、微分して極値を求めて、グラフを書いてください。
そうすれば、xの取りうる範囲内の最小値はすぐ分かります。

お礼

数IIやってないんですよ(；´Д`A ```
途中までは参考にさせていただきます。
ありがとうございました！