確率公式の式変形が。P(∪[i=1..n]C(i))=Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i,j=1..n, i<j]P(C(i)∩C(j))+

質問

確率の公式の証明です。

P(∪[i=1..n]C(i))=Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i,j=1..n, i<j]P(C(i)∩C(j))+P(∩[i=1..n]C(i))…(*)
帰納法でi=3の時
P(C(1)∪C(2)∪C(3))=P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(3))は明らかに成立。
i=n-1(n>3)の時,(*)式成立と仮定すると
(見やすいようにD:=∪[i=1..n-1]C(i)と置くと)
P(D∪C(n))=P(D)+P(C(n))-P(D∩C(n))
=Σ[i=1..n-1]P(C(i))+Σ[i,j=1,2,…,n-1, i<j]P(C(i)∩C(j))+P(∩[i=1..n-1]C(i))+P(C(n))-P(∪[i=1..n-1]C(i)∩C(n))
=Σ[i=1..n]P(C(i))+Σ[i,j=1,2,…,n-1, i<j]P(C(i)∩C(j))+P(∩[i=1..n-1]C(i))-P(∪[i=1..n-1]C(i)∩C(n))

から(*)式に辿り着けません。
どう変形すればいいのでしょうか?

回答No.1

looker1986 · ベストアンサー

(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。
n=4のとき
P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4))
= P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4))
-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4))
+P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4))
-P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4))
というのは理解されていますか？

正しくは、
P(∪[i=1..n]C(i))
= Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3))
-Σ[i1,i2,i3,i4=1..n, i1<i2<i3<i4]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3)∩C(i4))+…+(-1)^(n-1)P(∩[i=1..n]C(i))
となり、交互に符号が代わり共通部分を取る集合の数も１つずつ増えます。

証明の方針はあっていますよ。

お礼

ご回答誠に感謝致します。

> というのは理解されていますか？

あ゛、勘違いしてました。

> 正しくは、
> P(∪[i=1..n]C(i))
> = Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n,
> i1<i2<i3]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3))
> -Σ[i1,i2,i3,i4=1..n,
> i1<i2<i3<i4]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3)∩C(i4))+…+(-1)^(n-1)P(∩[i=1..n]C(i))
> となり、交互に符号が代わり共通部分を取る集合の数も１つずつ増えます。
納得です。

> 証明の方針はあっていますよ。

有難うございます。お陰様で無事証明できました。