行列Ａのｎ乗

質問

行列Ａに対しＡ＾ｎを計算する。
|７　－６|
|３　－２|

答えは
|－１+２^2n+1　２－２^2n+1|
|－１＋２^2n　 ２－２^2n |

です。

Ａを何乗かすると、とても大きな数になってしまい、
規則性がみえてきません。
固有値を求めて、対角化する説明が載っている、
ページのそばにこの問題がのっていますので、
それを使うのかと思うのですが、
全くわかりません。

回答No.3

dreamnstd · ベストアンサー

確かに対角化を使います。

対角化行列を P とし、その逆行列を Q とすると
B = QAP
なる B はもちろん対角行列です。また、これより
A = PBQ
となります。この両辺を何乗かすると
A * A * A * … * A * A = PBQ * PBQ * PBQ * … * PBQ *PBQ
となります。（明示的に「*」を書いてありますが、特別な意味はありません。普通に掛け合わせてるだけです。）

さて、この式の右辺に注目します。「*」を省略して書くと
PBQPBQPBQPBQPBQPBQ…
となりますが、P と Q はお互いに逆行列なので
PQ = QP = E (Eは単位行列)
です。行列の掛け算は交換はできませんが結合はできます。
なのでこの式の「QP」を先に計算して消してしまうと
= PBBBB…BBBQ　= P(B^n)Q
（B^n は Bのn乗です。）
となります。 B は対角行列なので一般項を出すにはただ対角成分をn乗するだけです。

あとはこの P(B^n)Q をがんばって計算すれば A^n の一般項が求まります。
こればっかりは根性で計算するしかありません（笑
色々テクニックはありますが、行列の計算は最終的には根性です。がんばりましょう。

回答No.2

koko_u_

>Ａを何乗かすると、とても大きな数になってしまい、>
>規則性がみえてきません。

数列の授業で規則性を発見する方法のいくつかを学習しませんでしたか？
イキナリ規則性が見えたらおかしいと思いませんか？

回答No.1

mtaka_2007

全く簡単です。おっしゃるように問題の行列の固有値を求めて、対角化します。変換行列をPとすれば、B=（Pの逆行列）APでBが対角行列となります。対角行列のn乗は、その対角成分をn乗したものです。
上の式で各辺をn回かければB^n=(Pの逆行列)A^nPとなりますので、A^n=PB^n(Pの逆行列)です。
あとはご自分で計算してみて下さい。