行列のべき乗計算についての質問です

質問

行列計算、簡単な行列のn乗計算について質問です。
当方情報系の大学3年生です。
なお、問題に関しては大学1年生レベルだと思います（笑）

2*2の正方行列のn乗計算です。
|1-q q|
|p 1-p|
のn乗は、
以下の画像のようになることを計算しなければいけないのですが、
(1)対角化
(2)CH定理を用いる
(3)A^2,A^3から推定する
などやってみたのですがこういった綺麗な形になるにはあまりに込み入った議論になってしまう気がします。
もちろん力押しすれば出来なくはないと思うのですが、スマートな論理展開があればご教示願います。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

ちょっと拡張する形になるけどスペクトル分解.

お礼

すみません、擬似スペクトル分解はできたのですが、固体値の計算が間違っていただけでした笑
双方の方にベストアンサーをさしあげたいのですが、先に提示していただいたコチラの方にBAお送りします。

補足

回答有難う御座います.
スペクトル分解というのは固有値とそれに対応する射影行列の線型和で行列を表す方法だったと記憶しています.
この解がその方法で求められているとすると，1と1-p-qが固有値の扱いになるのでしょうか？
それとも元の行列に何らかの変形を加えてからスペクトル分解せよということでしょうか？お暇でしたら追加でご教示願います.

回答No.2

151A48

Aの固有値をα，βとする
X=(1/α-β)(A-βE)　，Y＝(1/β-α)(A-αE)
とおくと
X+Y=E , XY=YX=O で A=αX＋βY
と分解できる。これより
A^n=α^n・X＋β^n・Y
が示せる。
α＝1-p-q　，β＝１

お礼

スペクトル分解の具体的な方法のご教示,ありがとうございました。