二次式の定符号

質問

こんばんは、
よろしくお願いいたします。

常にax^2+bx+c＞0⇔a＞0,D＜0
常にax^2+bx+c＜0⇔a＜0,D＜0

ですが、なぜDがD＜0になっているのかわかりません。

教えてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

debut · ベストアンサー

y=ax^2+bx+cのグラフを考えると、

a＞０ならグラフは下に凸です。常にax^2+bx+c＞0ということは、
→グラフが全部ｘ軸より上にある
→グラフがｘ軸と交わらない
→ax^2+bx+c＝0を満たす実数解ｘがない
→つまりＤ＜０

a＜０なら放物線は上に凸です。常にax^2+bx+c＜0ということは、
→グラフが全部ｘ軸より下にある
→グラフがｘ軸と交わらない
→ax^2+bx+c＝0を満たす実数解ｘがない
→つまりＤ＜０

ということです。

お礼

お返事遅れてすみません。
とても参考になりました！！
本当にありがとうございました。

回答No.3

happy2bhardcore

No2です。

打ち間違え
(2)ax^2+bx+c＜0、a＞0のとき
ではなく
(2)ax^2+bx+c＜0、a＜0のとき

回答No.2

happy2bhardcore

まず、Ｄ＝b^2 -4ac ということは知っていますね？

y=ax^2+bx+c
平方完成して
y=a(x+b/2a)^2 - (b^2 -4ac)/4a
頂点の座標は
(x,y)＝(-b/2a , - (b^2 -4ac)/4a )
x軸より上か下かを考えればいいから、頂点のｙ座標だけ考えればいいことになる。すなわち -(b^2 -4ac)/4a がどうなるかを考える。

(1)ax^2+bx+c＞0、a＞0のとき
グラフは下に凸、最下点である頂点のｙ座標がx軸より正であればよい。
すなわち-(b^2 -4ac)/4a ＞0であればよい。（文字にとらわれず、符号で考える）
a＞0だから分母は正、なので-(b^2 -4ac)＞0であればよい。
つまり-D＞0⇔D＜0となる。

(2)ax^2+bx+c＜0、a＞0のとき
グラフは上に凸、最上点である頂点のｙ座標がx軸より負であればよい。
すなわち-(b^2 -4ac)/4a ＜0
a＜0だから分母を払うと符号の向きが変わるので、-(b^2 -4ac)＞0であればよい。
よって、-D＞0⇔Ｄ＜0

お礼

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本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#231526

Ｄ＜０ということは、実数解がないということ。
y=ax^2 + bx + c のグラフを考えると、
実数解がないということは、このグラフが、X軸と交わらないこと。
交わっちゃうとそこで符号が変わってしまいますからね。なので、Ｄ＜０という条件が付いているのです。

お礼

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