収束列の部分列について

質問

はじめて質問させていただきます。

学校で位相幾何学を学んでいるのですが、なぜ収束列の部分列が同じ値に収束するのかがどうしても分かりません。
感覚的には分かるのですが、証明しろと言われると何をどうしていいのかさっぱり分からなくなってしまいます。

よろしくお願いします。

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

数列が収束するという定義はよいとして、

部分列そのものの定義を見直してみましょう。
部分列 {anj} の nj には、狭義単調増加というような約束が入っていませんか？

＞　部分列とは数列aｎに対して、p≦an≦ｑ(ｎは任意の自然数)となるｐ、ｑが存在するならば、数列anの部分集合である数列anjは収束するという・・・
もう一度、教科書を見直してみてください。質問者さんが言われているのは、有界列の部分列は収束するということのようですが、それは間違いです。有界列から収束する部分列を取り出すことはできますが、an が有界だからといって、その任意の部分列が収束するわけではありません。また、本問では、このことは無関係です。

この問題で問われていることは、an が α に収束するとき、任意の部分列が（質問者さんが言われた収束の定義に基づいて）α に収束することを示せということ。話は簡単で、{an} において、ある n0 より大きな n では |an - α|＜ε　ですね。an は α に収束するので。
ですから、任意の部分列 {anj} でも、その n0 より大きな添え字の項以降（nk ＞n0 となる k が存在して、k＜j）で |anj - α| ＜ ε 。これをきちんと言うために、部分列の正確な定義が必要。
参考まで
http://www.ritsumei.ac.jp/~osaka/rejime/kougi04/kaikaiseki1.pdf

お礼

もっともっと勉強しないとだめだということを痛感しました。
ありがとうございました。

回答No.3

koko_u_

>収束するとは任意の正のεに対してa-ε＜an＜a＋ε　
>for任意の自然数ｎ：ｎ0＜ｎ　となるｎ0が存在するということではないのでしょうか。

「位相幾何学」でその定義はないと思う。

お礼

ご回答ありがとうございます。

私がしっかり理解していないということですね、勉強します！

回答No.2

uzumakipan

こんばんは。

数列{an}がαに収束するとき、{an}の部分列{anj}がβに収束すると仮定して、αとβが一致することを示せばよいと思います。

きちんとε-δ論法で示すには三角不等式やコーシー列の知識も必要ですが…。

＞また、部分列とは数列aｎに対して、p≦an≦ｑ(ｎは任意の自然数)となるｐ、ｑが存在するならば、数列anの部分集合である数列anj
＞は収束するということだと思っています

は本当に部分列の定義？私には理解できません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

もう一度勉強し直します！

回答No.1

kumipapa

それでは、「収束する」とは、どのように定義されますか？
また、部分列の定義は？
以上、補足欄へどうぞ。

これらをきちんと表現できるならば、収束列とその部分列とが同じ値に収束することを示すに何ら問題は無いはずです。これがさっぱり分からんということは、「収束とは」、「部分列とは」、の定義がさっぱり分かっていないとしか思えないのです。

補足

ご回答ありがとうございます。
収束するとは任意の正のεに対してa-ε＜an＜a＋ε　for任意の自然数ｎ：ｎ0＜ｎ　となるｎ0が存在するということではないのでしょうか。

また、部分列とは数列aｎに対して、p≦an≦ｑ(ｎは任意の自然数)となるｐ、ｑが存在するならば、数列anの部分集合である数列anjは収束するということだと思っています。