この場合,Cauchy列が有界となる理由は?
宜しくお願い致します。 最下の命題の証明でCauchy列が有界となる理由がわかりません。
[定義-3]順序集合(A,≦')の部分集合Bに於いて、{b∈B ;∀x∈B,b≦'x}≠φの時、
{b∈B;∀x∈B,b≦'x}:単集合となる{b∈B ;∀x∈B,b≦'x}のただ一つの元bをminBと表記し、(A,≦')に於けるBの最小元と言う。
[定義-2]順序集合(A,≦')の部分集合Bに於いて、{a∈A ;∀x∈B,x≦'a}≠φの時、
{a∈A ;x∈B⇒x≦'a}の元を(A,≦')に於けるBの上界と言う。
[定義-1] 順序集合(A,≦')に於いて、Aの部分集合Bに於ける上界が存在する時、Bは(A,≦')の中で上に有界であると言う。
[定義0] 順序集合(A,≦')に於いて、Aの部分集合Bに於ける上界が存在する時、その上界の集合の最小限をBの上限といい,supBと書く。
[定義1] 数列{a_n}のある部分列がaに収束する時,このaを数列{a_n}の集積値という。
[定義2] 順序集合(A,≦')が完備
⇔
(i) (A⊃)Bが上に有界ならば∃supB∈A
(ii) (A⊃)Bが下に有界ならば∃infB∈A
[命題1](Weierstrassの定理) 有界な数列には少なくとも1つの集積値が存在する。
[命題2] 数列{a_n}が収束する
⇔
(i) {a_n}が有界
(ii) {a_n}の集積値は唯一つ
[命題3] 順序集合(A,≦')を距離空間(その距離をdとする)とする。Aが完備ならばAの任意のCauchy列{c_n}はlim[n→∞]c_n∈A.
を示しています。
[証]
Cauchy列の定義から0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n∈N⇒d(c_m,c_n)<ε
{c_n}は有界(∵?)。
従って,sup{c_n}∈A,inf{c_n}∈A(∵定義2)
これから{c_n}は有界と言えるから,{c_n}は収束する
(∵唯1つの集積値が存在する
(∵{c_n}には少なくとも1つの集積値が存在するから(命題1),
{c_n}の集積値が2つあったと仮定し,その集積値をa,bとする。
{c_n}の部分列{a_n}がaに収束,部分列{b_n}がbに収束。
収束の定義から夫々
0<ε'∈R,∃M'∈N;M'<k⇒|a_k-a|<ε'
0<ε'∈R,∃M"∈N;M"<h⇒|b_h-b|<ε'
ところが
|a-b|=|(a-a_k)-(b-b_h)+(a_k-b_h)|
≦|a-a_k|+|b-b_h|+|a_k-b_h|<2ε'+|a_k-b_h|
∴ |a_k-b_h|>|a-b|-2ε'
これはmax{M',M"}<∀k,h∈Nに対しても|a_k-b_h|>|a-b|-2ε'となってしまう事を意味しているので
ここでε':=|a-b|/4と採ってしまうと,
∃M∈N;M<k,h∈N⇒|a_k-b_h|>|a-b|/2 となり,Cauchy列の定義に反する)
よって命題2)
そして,{c_n}の収束値をcとするとc∈A
(∵c∈A^cだと仮定してみると今,lim[n→∞]c_n=cなので
0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m∈N⇒d(c_m,c)<εと書ける筈だが書けない(∵dはAでしか定義されてない))
、、、と示せると思うのですが2行目「{c_n}が有界」の理由がわかりません。
d(c_m,c_n)<εからどうすれば{c_n}が有界である事が言えますでしょうか?
補足
ありがとうございます。 部分列の説明はわかったのですが、やはりどうして最初からこういう点列があるといわないのかわかりません。 部分列は点列の中の特別な条件をみたすものだけ抜き出したものと考えればいいのでしょうか？ よろしくお願いいたします。