指数対数の問題です。

質問

実数x,yが2x＋3y=3を満たすとき、4^x+8^yの最小値とそのときのx,yを求めよ。

2^2x+2^3yに式変形したところでとまってます。
相加相乗をつかうのかなと思って考えましたがよくわかりません。

どなたか解答お願いします(ू ˃̣̣̣̣̣̣o˂̣̣̣̣̣̣ ू)

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

そのまま、最後までやれ。

2の2x乗 と 2の3y乗 は、共に正数だから、
相加相乗平均の関係が使えて、
((2の2x乗)+(2の3y乗))/2 ≧ √((2の2x乗)(2の3y乗)).
右辺 = √(2の(2x+3y)乗) = √(2の3乗) で、
等号成立は、2の2x乗 = 2の3y乗のとき。
すなわち、2x = 3y のときと判る。
2x+3y=3 と合わせると、等号は
2x = 3y = 3/2 のとき成立する。

以上より、最小値は = 2√(2の3乗) = 4√2 である。

方針は、正しい。
あと必要なものは、計算を続ける根気だけ。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

いつものようにラグランジュの未定乗数法でやります(^^;

f(x、y) = 4^x + 8^y, g(x, y) = 2x + 3y -3

h(x, y, λ) = f + λg とすると

∂h/∂x = 2log2・e^(2log2・x) + 2λ = 0
∂h/∂y = 3log2・e^(3log2・y) + 3λ = 0

λを消去すると 2log2・x = 3log2・y ⇒ 2x = 3y

∂h/∂λ=g=2x-3y=0 と連立すると

x=3/4, y= 1/2

f(x、y)は正で、上界を持たず、条件g においてこの点が唯一の停留点だから、
この点が極小かつ最小。

最小値は
f(3/4, 1/2) = 2^(3/2) + 2^(3/2) = 2√(2) + 2√(2) = 4√(2)

以上です。

回答No.2

mnakauye

こんばんは。

　　あなたの考えている方向で良いと思いますよ。

>指数対数の問題です。

とは言い切れませんが・・・・・

>実数x,yが2x＋3y=3を満たすとき、4^x+8^yの最小値とそのときのx,yを求めよ。
>
>2^2x+2^3yに式変形したところでとまってます。

　これに条件を代入すれば、2^2x+2^3y＝2^2x+2^(3-2x)

2^2x=A とおけば、

　　　Ａ＋８／Ａ

　　で明らかにＡ＞０ですから、

　>相加相乗をつかうのかなと思って考えましたが

　　そのまま考えましょう。

　　＞＝２√（A*8/A）=4√（２）　等号成立は、Ａ＝８／Ａ　のとき

　　　後は御自分で・・・・

　　がんばってください。

回答No.1

Tacosan

そう思うならやってみたら?