x+y≧2√xy

質問

x≧0，y≧0，x^2+y^2=1，のときx+yの最小値を求めよ。
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S君の解答
x≧0，y≧0から相加平均≧相乗平均の関係を使って
x+y≧2√xy・・・（＊）
等号が成り立つのはx=yのときだからx=y=√1/2のとき
よってx+yの最小値は√2
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S君の解答の誤りを指摘せよ。が問題ですが

（＊）の右辺が定数でないのに「等号が成り立つx=yのとき最小」としているのが誤り。

が解答ですよね。
右辺が定数にならないと相加・相乗はつかってはいけないというのは「知って」います。
（知っているだけでナゼかがわからない）
しかし、それだけ（右辺が変数）で解答になるのがどうも納得がいかないというか。

（x≧0，y≧0，x^2+y^2=1，のときx+yの最小値は求められますのでこちらの回答は結構です）

回答No.3

keyguy · ベストアンサー

０≦ｘかつ０≦ｙで√（ｘ・ｙ）≦ｘ＋ｙは成立し
等号はｘ＝ｙのときです。
もし√（ｘ・ｙ）すなわちｘ・ｙが
０≦ｘかつ０≦ｙかつｘ＾２＋ｙ＾２＝１で
ｘ＝ｙのときで最小になるのならばｏｋです。
しかし
２・ｘ・ｙ＝ｘ＾２＋ｙ＾２－（ｘ－ｙ）＾２
＝１－（ｘ－ｙ）＾２
であり
ｘ・ｙは
０≦ｘかつ０≦ｙかつｘ＾２＋ｙ＾２＝１で
ｘ＝ｙで最大になることは有っても最小にはならないのでｏｕｔです。

お礼

おお～！
なるほど、納得！
＞２・ｘ・ｙ＝１－（ｘ－ｙ）＾２

この式見せられたら納得せずにいられようか、いやいられない。
どうもありがとうございました。

回答No.2

nickdayo

(x,y)=(1,0),(0,1)のときの方が√2より小さいですよねえ。
それだけでも間違ってますよね。
問題はS君が相加・相乗平均の関係を使ってしまったことです。

まず右辺が定数でない場合でもこの平均の関係式は成り立ちます。
しかしこの問題の場合は、S君は「x+y≧2√xy」と述べていますが、「x≧0，y≧0，x^2+y^2=1」という条件式を使うと、さらに「x+y≧2√xy≧(別の値)」である可能性があるわけです。
右辺の「2√xy」というのが変動するため、この「2√xy」にも最小値が存在するかもしれないっていう感じで考えてください。

結局何がいけなかったのかと言うと、この問題の場合は、「相加・相乗平均の関係式」と問題で与えられた「x≧0，y≧0，x^2+y^2=1」という条件に関連がないですよね。
関連性がないにも関わらずS君は「相加・相乗平均の関係式」だけを使って問題を解いているところが間違っていますよね。

お礼

＞右辺が定数でない場合でもこの平均の関係式は成り立ち

そうですね。これが最小であると述べるのがいけないのですね。

ありがとうございました・

回答No.1

coji314

>右辺が定数にならないと相加・相乗はつかってはいけないというのは「知って」います。（知っているだけでナゼかがわからない）

右辺が定数にならなくても相加・相乗の式は成立しています。つかってはいけないのはＳ君のような誤解をしやすいから使わないほうが良いという意味ではないでしょうか。

Ｓ君の解答では
ｘ＋ｙと２√ｘｙが等しくなるときは調べているけれども、そのときｘ＋ｙが最小になることはどこにも保証されていません。
つまり無関係な式を用いているということになります。

お礼

＞右辺が定数にならなくても相加・相乗の式は成立しています.

よく考えれば（考えなくても）そうですね。
なるほど、相加・相乗の式で最小値を出そうという考えがS君の場合悪かったのですね。

どうもです。