微分方程式の問題なんですが・・

質問

{(x^2+4x+5)/x}*y"+{(x^2-5)/x^2}y'=0 (y'=dy/dx)
という問題なんですが、途中でいき詰まってしまいました。
自分が解いたところまで回答を書きますので、その続きを教えて頂きたいのですが。
解答/////////////////////////////////////////////////////////
y'=uとおく

u'+(x^2-5)/(x^3+4x^2+5x)*u=0

(x^2-5)/(x^3+4x^2+5x)=(2x+4)/(x^2+4x+5)-1/xより、

u'+{(2x+4)/(x^2+4x+5)-1/x}*u=0

線形微分方程式とみて、

u=C1*{x/(x^2+4x+5)}

y'=C1*{x/(x^2+4x+5)}

y=∮y'なんですが、ここが積分できないです。

まずここまでの計算は正しいでしょうか？ってのが一つ。

∮{x/(x^2+4x+5)）の解き方を教えて頂けませんでしょうか？

どうかご教授よろしくお願いします。

回答No.1

jung_taro · ベストアンサー

回答いたします。
計算違ってたらごめんなさい。

x/(x^2+4x+5)の原始関数を求めると、
＝x/((x+2)^2+1)　（平方完成）
＝(1/2)*((2(x+2))/((x+2)^2+1))
　　　ー2/((x+2)^2+1) (分子をなんとか2(x+2)にしてみた)
＝(1/2)*(((x+2)^2+1))'/((x+2)^2+1)))-2*1/((x+2)^2+1))

と変形すればいいから、
式の前半はf'/f の形だからきれいにlogが出てくると思うし、
式の後半はt^2+1の逆数の形だからtan^-1(t) の形だと思います。

あとはご自身の力で解く事ができるのではないでしょうか。

ご参考になればと思います。

お礼

なるほど、
答えは、
前は、f'/fの形にもっていって
後ろは、atan(x+2)の微分したものととらえれば言い訳ですね