拘束力が仕事をしないのはなぜですか？

質問

拘束力が仕事をしないのはなぜですか？
拘束力は仕事をしないので、
拘束面上に接する任意の微小変位（仮想変位）と拘束力は直交している
という文があって
文の論法は分かるのですが、
なぜ拘束力は仕事をしないのかよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#221368

＞結局、拘束力は接線方向はゼロの力である、という定義で考える？
　当面は、そう考えよ、という事だと思います。

＞拘束力の定義は知りませんが・・・
　確かにそうですね。ふつうは拘束力の定義なんて、「読めばわかるだろう」という事で、おざなりにされてる気がします。なので、一回ベタにやってみればわかりますよ。まず「自由落下」を考えます。

　　mx"＝0
　　my"＝－mg

となって、落下軌道はy軸に平行です（初速なしとします）。次に落下が、「y＝x^2」で与えられる「滑り台」の上での「不自由落下」だとすると、滑り台から何も力を受けなければ、真っ直ぐ落ちるので（自由落下）、滑り台から何か力が加わるはずだ、となります。

　　mx"＝Fx
　　my"＝－mg＋Fy

　（Fx，Fy）が滑り台からの拘束力（抗力）です。ところで上式は、条件2本に未知数（x，y，Fx，Fy）の4つで解けません。それはそうで、（Fx，Fy）は滑り台を考慮したから現れた力で、未知数が増えたかわりに、落下軌道が最初からわかっています。

　　mx"＝Fx
　　my"＝－mg＋Fy
　　y＝x^2

　これでもまだ解けません。というのは、現実の滑り台がそうであるように、滑り台の「滑りやすさ」まで指定しないと、運動を一意に決められないのは、明らかと思います。そこで当面「摩擦なし」とします。
　滑り台の接線方向が（1，2x）になるのを考慮するとこれは、

　　mx"＝Fx
　　my"＝－mg＋Fy
　　y＝x^2
　　Fx＋2x・Fy＝0　　(1)

という条件と同じです。そして(1)は、「仮想変位が拘束力と直交する」という条件と同じです。
　ところで上記系でベタに、xやyの運動方程式（FxやFyを含まない形）を導こうとすると、けっこうとんでもない目に合います。このような簡単な系でさえ、運動方程式を立てるのがおぼつかないのですから、もっと複雑な系では目も当てられません。一方Lagragian形式を用いると、「拘束力が仕事をしない」という事から、運動方程式の定式化において、（Fx，Fy）を考えなくても良くなり、ある意味一瞬で運動方程式が得られます。
　Lagragian形式が導入された最初の動機は、少なくとも摩擦のない拘束を持つ複雑な系に対して、運動方程式を導く一般的な処方箋を与える事でした。そしてx，yの運動がわかった後で最初に戻って、拘束力も計算する（必要なら）という手順になります。
　こういう事ができるのは、「拘束力が仕事をしない」もしくは「ない」保存系だからで、保存系という事であれば、これにはもっと一般性があります。そういう目でLagragianを見直すと、例えば拘束力がない場合、時間の含んだ任意の曲線座標への変換が自由自在に行える事がわかります（解けるかどうかは別です）。このような一般性があるために、「現代物理のための」といった方向へ、解析力学は発展できたのだと思います。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

noname#221368

＞拘束力が仕事をしないのはなぜですか？

　仮定です。解析力学か何かの最初の部分と思いますが、とりあえず最初は摩擦などを考えません。よって拘束面の接線方向の力は0で、法線方向のみの拘束力となり、仮想変位と拘束力は常に直行します。
　後で摩擦なども考慮するために、散逸ポテンシャルやラグランジュの未定乗数法を使った、拘束力の求め方が紹介されます。

お礼

解析力学です。早田次郎の現代物理のための解析力学って本です。
ラグランジュの未定乗数法も文の中に出てきました。
結局、拘束力は接線方向はゼロの力である。
という定義で考えるということですか？

拘束力の定義は知りませんが、拘束面に張り付かせるための力って考えたら接線方向はゼロというのは何となく納得できるのですが。

回答No.2

tono-todo

拘束力とは何？
どういうことを解説した文章ですか？
力と変位が直交していることが問題なく理解されているなら、仕事は０は仕事の定義通りです。
力と変位が直交することがよく分からん、と言うなら補足がないと、状況が理解できない。

回答No.1

R_Earl

仕事って、『加えた力のベクトル』と『変位のベクトル』の内積ですよね？

> 拘束面上に接する任意の微小変位（仮想変位）と拘束力は直交している

『加えた力のベクトル』と『変位のベクトル』が直交してるので、
内積は0です。
よって、『仕事をしない』となるのではないでしょうか。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B_%28%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%29

お礼

あ。
それはわかってます。
すいません。質問の仕方が悪かったですね。