拘束力はなぜ仕事をしないのか？

質問

解析力学に関jする素朴な疑問です。

解析力学の本を8冊持っていますが、
「拘束力は仕事をしない」ということがなかば公理的に
述べられていて、その説明や証明らしきものが
ありません。

解析力学が「拘束力は仕事をしない」という大前提で
成り立っているのはよく理解しているつもりですが、
その土台となるこの仮定がどうして成り立つのか
とても気になります。

この点に関して十分な考察や証明が載っている
本やサイトはありませんでしょうか？

以上よろしくお願いいたします。

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

>例えば2個のおもりがロープで結ばれ、ロープが滑車にかかっていて、
おもりがぶら下がっている状況を考えてみてください。

なるほど。生半可なことを書いてしまい，申し訳ありません。
この場合，より本質的な問題は，ロープ自体がエネルギーを担うことがないという点にあるのではないでしょうか。したがって，両端の張力による仕事は相殺されなければなりません。これは，質量および伸び縮みを無視したロープにおいて成立する「張力の原理」にほかなりませんが，いわゆる拘束力一般に通じる性質であるとも思われます。伸び縮みはしないけれど，質量が無視できないロープの両端の張力の仕事は相殺されません。また，質量は無視できるけれど伸び縮みするロープ（すなわちばね）についても同様ですね。このような「ロープ」はもはや単なる「拘束」の道具ではなく，エネルギーを担う系の「実体」に含まれるわけです。したがって，このようなロープの両端の張力を拘束力とは呼べません。ばねもある意味では系の運動経路を「拘束」していますが，その弾性力を拘束力とは呼ばないのと同様です。

誤解をおそれずに結論付けるなら，解析力学においてはむしろ，系に対して仕事をせずに運動の経路に制限を与える役割のみをもつ力を拘束力といっているのだとも思えます。

お礼

はい、個々の物体間の位置関係を強制する
ロープのような拘束に関してはこれで説明が付きそうです。

また、個々の物体の経路を強制するような拘束は、
拘束力と物体の仮想変位が直交しそうなので、
説明が付きそうです。

後は G_a(q_1, q_2, ... q_N) = 0 (a = 1.. K)
を満たすような一般的な拘束(束縛)による拘束力(束縛力)が
上の二つの組み合わせでどうにかして説明できるかですね。

直感的には、まだ足りないものがたくさん有るような気がします。

回答No.7

hitokotonusi

まあ勝手にしてください。返信不要です。

糸の長さが一定という条件は、剛体の拘束条件と似たもので、どんな力が働いていようがいまいが成立してしまうものです。たとえ張力が働かず、ぐにゃにゃに曲がっている状態でも、糸に沿った曲線座標を取れば、その長さは同じになります。

厳密に言えば張力が働いている以上伸び縮みはしているのですが、その変化量があまりに小さいために無視できている、つまり、近似式として糸の長さが一定の条件が成立しています。現実問題として、この近似はいつ何時でも成立しますから、どんな力がかかろうとも、糸の長さが一定という条件は成り立ってしまいます。糸に質量があって力がつりあっていない場合でも、糸の長さは変わりません。これが張力と無関係の意味です。

結局、糸の長さが一定という拘束条件はありますが、張力に関る条件ではありません。つまり、この場合の張力は拘束条件を作る力ではない、すなわち、拘束力にはならないということです。

以上、くどいですが返信はいりません。

補足

うーむ、解析力学で滑車の例の運動方程式を
作って解けば、滑車に質量が有る無いにかかわらず、
張力は自動的に拘束力になってしまうのですが、
もっと深遠な話なのかな？

回答No.6

hitokotonusi

＞個々の物体間の位置関係を制限するのも拘束だと思います。

ですが、

＞ロープの滑車より左部分の張力がする仕事の総和は 0 だし、

この場合、物体と滑車の間の糸の長さは変わります。
なので、滑車のそれぞれの側で仕事の和が0になる事は、何の拘束でもありません。

＞G(x_1, x_2) = x_1 + x_2 - c = 0 (cは定数)

この条件、つまり、

δG = δx1 + δx2 = 0

という条件は左右の張力がことなる場合にもなり立ちますが、
このときの仮想変位δx1、δx2の係数(ともに１）の比は物体にかかる張力の比には一致しません。この拘束条件は張力とは無関係です。

補足

うーん、ロープの長さ一定が張力とは無関係と
言われても困ってしまいます。

こういう議論をしたいわけではないんですが．．．

つっこみどころ満載なのですが
本題から離れてしまうので、失礼します。

回答No.5

hitokotonusi

糸の長さが一定というのは拘束条件ではあっても拘束力ではないですよ。

滑車が質量を持っていたら張力は左右で異なるので、物体に働く張力の総和は0にはなりません。張力のトルクが滑車にする仕事も含めると0になりますが、これはどういう拘束を意味するのでしょう？拘束ではないですよね。

補足

滑車が質量をもつ場合、ロープの張力は滑車の左右で異なってきますが、
ロープの滑車より左部分の張力がする仕事の総和は 0 だし、
ロープの滑車より右部分の張力がする仕事の総和は 0 だとおもいます。

個々の物体のとりうる位置を制限するのも拘束ですが、
個々の物体間の位置関係を制限するのも拘束だと思います。
解析力学の拘束の定義を見る限りではそのように思えました。

回答No.4

hitokotonusi

拘束力は運動を特定の曲面内、あるいは、特定の曲線上に制限するのに必要な力です。
これに照らし合わせると、

＞例えば2個のおもりがロープで結ばれ、ロープが滑車にかかっていて、
＞おもりがぶら下がっている状況を考えてみてください。

この張力は拘束力ではありません。物体の運動は鉛直方向の直線上に制限されているので、
拘束力があるとすれば水平方向の力で、この場合は拘束がなく自然に直線運動をしているケースです。

もう少しシンプルに、机の上に置かれた物体を糸で引くことを考えてみてください。
この糸の張力を拘束力というでしょうか。

一方、同じ張力でも振り子運動では張力が運動を円周上に制限する働きをするので、拘束力になります。

補足

拘束力が何かといわれると自信が無いのですが、

おもりの高さを x_1 と x_2 するとロープによって強制される
位置関係は
G(x_1, x_2) = x_1 + x_2 - c = 0 (cは定数)
とかけるので、これは解析力学でいうところの
ホロノーム型の「束縛」だと思います。
なので、張力は束縛力だと思います。

実際、原子の集まりを剛体たらしめているような束縛は、
ロープのようなタイプの束縛なので、個々の物体と
エネルギーをやりとりしない束縛力の方がむしろめずらしいのでは
ないかと思います。

ただ、その力の「仮想変位」に対する仕事の総和が 0 になる
理屈がいまひとつわからないのです。

それとも「原理」/「公理」として無条件に受けいれるべきなのでしょうか？

回答No.2

okormazd

拘束力(束縛力)というのは、物体の運動を制約するように働いている力だから、物体はその力の成分方向には運動できません。その力の成分方向に運動できるなら拘束力ではありません。
したがって、
運動方向は、拘束力とは垂直方向になります。垂直方向の運動だから、変位も垂直方向です。
δW=F・δLcosθ
で、θ=π/2
だから、
W=0
ということだけではダメなのでしょうか。
拘束力の定義から、「なかば公理的に」「拘束力は仕事をしない」としていいのではないですか。
仕事をするようなら「拘束力」じゃないのです。

補足

No.1 の補足にも書きましたが、個々の拘束力は仕事をする場合があります。
しかし、系の全ての拘束力の仕事の総和は 0 のようなのです。

反例は示せませんが、なぜそうなるのかも示せません。
なぜなのでしょう？

回答No.1

yokkun831

解析力学における「拘束力」は，速度に対してつねに垂直な力であるからだと思います。たとえば，単純な質点の系では，振り子の糸の張力や拘束面からの垂直抗力などがそれに当たります。系の軌道が束縛によって制限されている場合に，系を軌道に拘束する力は本質的に軌道に垂直である，というわけですね。軌道に沿った分力は，摩擦力（抵抗力）として軌道に垂直な拘束力とは区別して考えているのです。

補足

速度ではなくて「仮想変位」のことだと思いますが、
拘束力は仮想変位と垂直になるとは限りません。
＃解析力学の本でもそういう例が紹介されています。

例えば2個のおもりがロープで結ばれ、ロープが滑車にかかっていて、
おもりがぶら下がっている状況を考えてみてください。

おもりが動いた場合、拘束力であるロープの張力は
おもりの運動方向に平行ですからおもりに対して仕事をしますが
張力のする仕事は「2個」のおもりに対する「総和」では 0 になります。

解析力学が求めている「仕事をしない」はこの「総和」なのですが、
具体的な反例は示せないものの、なぜこれが常になりたつのか
わからないのです。