数3 積分（kぼ最小値）

質問

こんばんは、よろしくお願いします。

「定積分∫〔0からπ〕（k-sinx）^2dxの値を最小にするkの値を求めよ」

という、問題なのですが、

（k-sinx）^2を展開してk^2-2ksinx+sin^2xとして積分するまでは分かりましたが

それから先が分かりません。

どのようにkの最小値を求めればいいのでしょうか。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

そのまま積分すれば、積分結果は
f(k)=πk^2 -4k+(π/2)=π{k-(2/π)}^2 +(π/2)-(4/π)
k=2/πで最小値f(2/π)=(π/2)-(4/π)
が出てきます。

積分位は自分でやって解を補足に書いて下さい。
積分結果がf(k)と一致しているか確認をしてください。

回答No.3

sanori

ｆ（ｋ）　＝　∫[x=0→π]（ｋ－sin）^2ｄｘ
　＝　∫[x=0→π]ｋ^2ｄｘ　－　∫[x=0→π]２ｋsinｘｄｘ　＋　∫[x=0→π]sin^2ｄｘ

第３項はｋに依存しないので、

ｆ（ｋ）　＝　∫[x=0→π]ｋ^2ｄｘ　－　∫[x=0→π]２ｋsinｘｄｘ　＋　定数

と表すことが出来る。

ｆ（ｋ）　＝　ｋ^2・∫[x=0→π]ｄｘ　－　２ｋ∫[x=0→π]sinｘｄｘ
　＝　ｋ^2・［ｘ］[x=0→π]　＋　２ｋ・［cosｘ］[x=0→π]　＋　定数
　＝　ｋ^2（π－０）　＋　２ｋ（－１－１） ＋　定数
　＝　π・ｋ^2　＋　４ｋ　＋　定数

極値を取るとき、
ｆ’（ｋ）　＝　２πｋ－４　＝　０
ｋ＝２／π　のとき極値を取る。
つまり、ｆ’（２／π）＝０

最後に、その極値が極小値なのか極大値なのかを確かめる。
ｆ’’（ｋ）＝　２π
よって、ｆ’’（２／π）　＝　２π　＞　０
二次微分が正なので、下に凸、
すなわち、ｆ（２／π）は極小値。

計算に自信が無いので、どこか間違っていたらごめんなさい。

回答No.2

noname#56760

そのまま計算するとｘは消えます。
∫○○dxの定積分なので。

回答No.1

Tacosan

k に関する 2次関数の最小化.