物理学についての質問です。

質問

全エネルギーEをもつ質量mの粒子がポテンシャルエネルギーU(x)の箱中を一次元で運動している。ポテンシャルエネルギーU(x)がx<０ではU∞、0≦x≦LではU=0、L＜xではU＝∞である。

(1)0≦x≦Lでは方程式のひとつの解がΨ(x)＝Asinknxであらわされることを示せ。
(2)境界値条件を用いてエネルギーEnを求めよ。
(3)ドブローイの関係式と波動関数の境界値条件から箱の中の粒子のエネルギー準位を求めよ

これらの問題問題がどうしてもわかりません。
どなたかよろしくお願いします

回答No.1

NemurinekoNya

式を簡単にするために
h/(2π)をhとすることにします。
すると、
シュレディンガー方程式は、
　-h^2/(2m)・d^2Ψ/dx^2 = EΨ　　　　　（0 < x < L）　　　　　・・・（あ）
　Ψ(x) = 0　　　　　　　　　　　　　　　（x ≦0, x ≧L）
となる。

で、この微分方程式を解くと、
Ψ(x) = Asinkxになる。
ただし、k = {√(2mE)}/h。

（１）Asinknxを式（あ）に代入すればこれが解の一つであることがわかります。
　d^2(sinkx)/dx^2 = -k^2・sinkx
となるので、
これを（あ）式に代入すると、このことがわかります。

（２）k = {√(2mE)}/h
境界条件から、kL = nπ （n = 1, 2, 3,…）
　{√(2mE)}/h = nπ
よって
　E = n^2π^2h^2/(2mL)　　　　　　（い）

（３）ドブロイ波が定常波であるとすると、波長λは
　n・λ/2 = L
　λ = 2L/n
で、ドブロイの関係式
　p = h/λ = nh/(2L)　　　　　（ここのhはプランク定数で（１）と（２）で使ったhとは違うことに注意）

　E = p^2/(2m) = (nh)^2/(8mL^2)　　　　（う）

この式は（１）と見た目が多少違うけれど、この違いは（１）と（２）でhをh/(2π)としたためで、（１）のhをh/(2π)に起きかえれば、
（う）になります。

計算を間違っていたら、ゴメンです。
どこか分からないところがありましたら、遠慮せず、補足欄かお礼欄に書いて質問してください。