質量行列と剛性行列について（ラーメン構造）

質問

失礼します。
今、図のような条件のもとでプログラムを作っています。
これは、ラーメン構造ですので、非常に説明が長くなっていますし、
専門的なのでもしよければご回答お願いします。非常に困っています。

まず、私のプログラムでは、非減衰のものを作ります（本当はレーリー減衰で決めるけれど、まずは剛性、質量マトリックスを作ってから）
自分は下記の式を用いて、振動を解析しています。
Mu''+Ku=-mg(地震動）

M：質量マトリックス
Ｋ：剛性マトリックス
u:変位
u'':加速度（変位２回微分）
-mg(これはどこからか資料をとってきてこの中にいれます）つまり、gは加速度です。

まずは、要素マトリックスですが、剛性マトリックスは以下の通りにしています。
各節点には、3つの力があります（軸力：Ｎ、垂直力：Ｖ、曲げモーメント：Ｍ）
よって、6行6列の行列になります。

k=[EA/L 0 0 -EA/L 0 0;0 12EI/L^3 6EI/L^3 0 -12EI/L^3 6EI/L^2; .....]

ここに
E:ヤング係数、A：部材断面積　L:長さ

これは調べていただければわかると思います。

問題は、質量マトリックスのほうです。
調べたところ、以下の式が出てきました。

m=ρAL/420*[210 0 0 0;0 L^2 0 0; 0 0 210 0; 0 0 0 L^2]
と4行4列の式が出てきました。（対角行列）

ρ；密度
Ａ、Ｌ：上記と同じ

ここで最初の質問です。
(1)上式は、おそらく私の考えでは、軸力あるいは垂直力、と曲げモーメントに対しての
マトリックスであるから、4行4列だと思います。
もしここに、欠けているであろう、軸力、あるいは垂直力をつけるとするならば下の式であっていますか？

m=ρAL/420*[210 0 0 0 0 0;0 210 0 0 0 0; 0 0 L^2 0 0 0; 0 0 0 210 0 0;0 0 0 0 210 0; 0 0 0 0 0 L^2]
の6行6列の対角行列の式であっていますか？

また、この次に、変換行列を使って、この図でいえば、
(5)、(6)の要素を垂直に戻すか、
(1)、(2)、(3)、(4)を水平に戻すかです。
このときに、mは変換しなくてよいと思うので、残りはｋだけです。

ここで２つ目の質問です。
(2)これは、普通に静的なときにやる座標変換でも大丈夫でしょうか？（今は動的です）

なお、そのあとは、座標変換したものを、要素ごとに重ね合わせの原理を用いて、全体剛性マトリックスを作っていきます。もちろん、全体質量マトリックスも作っていきます。

この二つさえできれば、減衰定数は作れます（レーリー減衰）が、今はこの段階です。

専門的になりすぎてなにとぞご不便をおかけしますがよろしくお願いします。
非常に困っています。

失礼します。

回答No.1

noname#221368

いま初めて見ました。このような事をやっておりました。

　「有限要素法ハンドブック」という本があります。日本における有限要素法のリファレンスです。

　自分はあなたの結果を検算する気は起こりませんでしたが（ざっと見で、正しい気はしました）、「有限要素法ハンドブック」には載っていそうです。それに自分の検算結果より、リファレンスの結果の方が正しいという確信があります。

　「有限要素法ハンドブック」は自分で買うとバカ高いですが、大学の工学部の図書館には必ずあるはずです。そして大学の図書館は学外者にも門戸を開いており、一定の手続きさえ踏めば、必要個所を「有限要素法ハンドブック」から、その場でコピーできると思います。

　一定の手続きは、多少面倒化も知れませんが・・・。