斜面と斜面を滑り降りる物体の運動

質問

前に質問されたことのあるとおもう問題ですが、検索ワードが思いつかなかったので、質問します。

床、斜面の摩擦は無視できる。
水平な床の上に質量Ｍ、傾きθ、の三角台Ｑの上に
質量ｍの小物体Ｐをのせる。
水平方向にｘ軸、鉛直方向にｙ軸をとり、重力加速度をｇとする。

運動方程式
小物体のｘ、ｙ軸方向の加速度＝a、ｂ
三角台のｘ、ｙ軸方向の加速度＝Ａ、Ｂ
ＰとＱの抗力＝Ｎ、床とＱの抗力＝Ｓ
として
ｍａ＝－Ｎsinθ
ｍｂ＝Ｎcosθ－ｍｇ
ＭＡ＝Ｎsinθ
ＭＢ＝Ｓ－Ｍｇ－Ｎcosθ
Ｂ＝０
ｂ＝（ａ－Ａ）tanθ

最後の式ですが、これを出すのにベクトルを使って、
Ｐの変位を(Δｘ、Δｙ）、Ｑの変位をΔＸとして
Δｙ＝（ΔＸ－Δｘ）tanθ・・・☆
二回ｔで微分して
ｂ＝（ａ－Ａ）tanθ
とやるらしいのですが、☆の式が立てられないのですが説明していただけますか？

もうふたつ
１、ＰがＬ滑り降りたときのＱの変位を求める問題。
２、そのときのＰとＱの運動エネルギーの和を求める問題。

がありまして、１、はまったくわかりません。

２、求めるエネルギーの式は
Ｐの各軸方向の速度をＶx、Ｖy
同様にＱの速度をＶX、ＶY

（１/2）m（Ｖx^2 +Ｖy^2) ＋(1/2）Ｍ（ＶX^2 +ＶY^2)＝・・・
となるのですが
これを出すのに最初の運動方程式をつかって
a＝dＶx/dt、b＝dＶy/dt、Ａ＝dＶX/dt、Ｂ＝dＶY/dt
なので
ｍＶx（dＶx/dt）＝－Ｎsinθ・Ｖx
ｍdＶy（Ｖy/dt）＝（Ｎcosθ－ｍｇ）Ｖy
ＭＶX（dＶX/dt）＝Ｎsinθ・ＶX
ＭＶY（dＶY/dt）＝（Ｓ－Ｍｇ－Ｎcosθ）ＶY
また
Ｖysinθ＝（Ｖx－ＶY）cosθ
なのでこれらから
d/dt{（１/2）m（Ｖx^2 +Ｖy^2) ＋(1/2）Ｍ（ＶX^2 +ＶY^2)}

となるらしいですがこの式のつくり方がわからないんです。
そしてそれから先どうするかわかりません。
長々となりましたがよろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

＞Δｙ＝（ΔＸ－Δｘ）tanθ・・・☆
＞二回ｔで微分して
＞ｂ＝（ａ－Ａ）tanθ

２つの式は矛盾してませんか．
ｘ軸，ｙ軸の正の向きはそれぞれ右向き，上向きでいいのでしょうか．
斜面が右上がり(左端が尖っている)なら
Δｙ＝（Δｘ－ΔＸ）tanθ・・・（＊）
ｂ＝（ａ－Ａ）tanθ

もしその逆なら右辺が逆符号です．
Δｙ＝（Δｘ－ΔＸ）tan(－θ)＝－（Δｘ－ΔＸ）tanθ
ｂ＝－（ａ－Ａ）tanθ

いずれも，台に対する小物体の相対変位
Δｘ－ΔＸ（ｘ方向）　と　Δｙ－０＝Δｙ（ｙ方向）
との間に，「台からみて小物体は斜面方向にのみ動ける（今の状況では，浮き上がったりめり込んだりはしない）」　
という条件を幾何学的に書けば出ます．

残りの問題はこれらの式を全て解けば出ますが，解かなくても出ます．
[別解]
＞１、ＰがＬ滑り降りたときのＱの変位を求める問題。
１，は式（＊）と
Δｘ－ΔＸ＝－Ｌ・・・（Ａ）　（台に対し左にＬだけ変位）
（または傾きが逆なら逆符号）
から
ｙ方向の変位はΔｙ＝－Ｌtanθ　つまり，下向きにＬtanθ

一方，重心の定義
(ｍ＋Ｍ)Ｘ_G＝ｍｘ＋ＭＸ
より
(ｍ＋Ｍ)ΔＸ_G＝ｍΔｘ＋ＭΔＸ
かつ，水平方向には外力が働かないので，重心は静止したままで，ΔＸ_G＝０
よって　ｍΔｘ＋ＭΔＸ＝０・・・（Ｂ）
（重心からの距離が質量の逆比）
（Ａ），（Ｂ）より
ｘ方向の変位：Δｘ＝－ＭＬ／(Ｍ＋ｍ)
つまり斜面が右上がりなら　左向きにＭＬ／(Ｍ＋ｍ)

＞２、そのときのＰとＱの運動エネルギーの和を求める問題。
力学的エネルギー保存が成立するので，
和は　ｍｇＬtanθ

＞d/dt{（１/2）m（Ｖx^2 +Ｖy^2) ＋(1/2）Ｍ（ＶX^2 +ＶY^2)}
左辺を実際微分すれば
d/dt（１/2）mＶx^2＝（１/2）md/dtＶx^2＝（１/2）m・２Ｖx・dＶx/dt＝mＶx・dＶx/dtから言えます．

お礼

別解示していただきありがとうございます