円柱と直線の交点

質問

円柱の表面と直線との交点を求める一般解を調べているのですが、わかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

ranx · ベストアンサー

前回のアドバイスで、後は機械的に出ると思いますが．．．。

直線の媒介変数方程式を円柱の方程式に代入します。
（前回は書き落としましたが、λ・μの少なくとも一方はゼロでないことを仮定します。）
(λt+x0)^2+(μt+y0)^2=r^2
(λ^2+μ^2)t^2+2(λx0+μy0)t+(x0^2+y0^2-r^2)=0
ここで、D=(λx0+μy0)^2-(λ^2+μ^2)(x0^2+y0^2-r^2)とすると、

D<0の時、解はなし。

D=0の時、t=-(λx0+μy0)/(λ^2+μ^2)より
　x=-λ(λx0+μy0)/(λ^2+μ^2)+x0
　y=-μ(λx0+μy0)/(λ^2+μ^2)+y0
　z=-ν(λx0+μy0)/(λ^2+μ^2)+z0

D>0の時、t=(-(λx0+μy0)±√D)/(λ^2+μ^2)
　x=λ(-(λx0+μy0)±√D)/(λ^2+μ^2)+x0
　y=λ(-(λx0+μy0)±√D)/(λ^2+μ^2)+y0
　z=λ(-(λx0+μy0)±√D)/(λ^2+μ^2)+z0

不注意な計算ミスが無ければこれで良いはずですが、ご自身で確認してみて下さい。

回答No.1

ranx

円柱は適当に座標系をとれば
x^2+y^2=r^2
と表せます。
直線を、媒介変数を使って
x=λt+x0
y=μt+y0
z=νt+z0
と表し、上の式に代入すれば、単なる二次方程式になります。

補足

大変手数なのですが、ranxさんの回答の例を示していただけませんか？　どうぞお願いいたします。