2直線の交点

質問

まず、
交わる2直線
a1x＋b1y＋c1＝0－(1)　a2x＋b2y＋c2＝0－(2)
について、a1x＋b1y＋c1＋k(a2x＋b2y＋c2)＝0－(3)
は(1)と(2)の交点を通る直線を表す。
これは、どうやって証明するのでしょうか？
また、式自体、よく意味がわかりません、どういうことなのでしょうか？

回答No.1

BLUEPIXY · ベストアンサー

(1)と(2)の交点をx0,y0とすると、
(3)の式にx0,y0を入れてみると、０になる（式を満たす）のは明らかです。
なぜなら、
x0,y0は、（１）（２）それぞれの直線上の点であって、（１）（２）をそれぞれ０にするから
（１）＋ｋ（２）である（３）式が０になる（式を満たす）です。
ところで、
直線の式は、
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０ですが、
（３）式は、そのような形になっていますので、
直線の式です。
なので、
（３）式は点x0,y0を通る直線の式です。

回答No.2

sunasearch

式(３)の左辺がkの値によらず、常に０になるためには、

a1x＋b1y＋c1＝0
a2x＋b2y＋c2＝0

を同時に満たす必要があります。

この、式(1)と式(2)を同時に満たすのは、
２つの直線の交点だけです。

ですから、式(3)がkの値によらず成り立つには、
式(1)と式(2)の交点を通る必要があります。

また、式(3)は、
(a1+a2k)x + (b1+b2k)y + c1+c2 = 0と変形できますから、
式(1)や式(2)と同じ形の直線の式となります。

お礼

わかりました、ありがとうございました。