細い円柱の上に太い円柱は乗るのか。

質問

長い円柱を２つ用意し、一つの円柱の上にもう一つの円柱をクロスにして乗せることを考えます。

２つの密度の等しい太い円柱と細い円柱があり、
このとき、太い円柱の上に細い円柱は乗せられるが
細い円柱の上には太い円柱は乗せられないことの理由を教えてください。

重心さえ床に対して鉛直な一直線上に並んでいれば、乗せることは出来るような気がするのですが…。

慣性モーメントなどを用いて説明するのでしょうか。

回答No.4

SortaNerd · ベストアンサー

気になってずっと考えていましたが、やっと分かりました。
確かに細い円柱の上に太い円柱は不可能です。(不安定なつり合いという意味で)

太い円柱の上の細い円柱をつり合い位置から右に少し傾けたとすると上の円柱の重心は2つの円柱の接触点より左側に来ます。
これにより上の円柱は左に戻り、安定します。
一方細い円柱の上に太い円柱を置くと、この場合は逆に右に傾ければ右に重心が来るのでそのまま右へ行ってしまいます。

式で書けば、下の円柱の直径をR1、上の直径をR2、傾けた角度をθとして、図を書くと、
上の円柱の重心は接触点より
R2sinθ-R1θcosθ
の距離だけ、傾けた側に移動することが分かります。
安定するには傾けた側と反対側に移動してほしいので、
安定条件は
R2sinθ<R1θcosθ
θが微小ならsinθ≒θ, cosθ≒1ですから、
⇒ R2<R1
となります。

なお密度の条件は不要ですね。

お礼

感覚的なことはつかめました。ありがとうどざいます。

式の部分が少しわからないのですが
二つのRは半径のことでしょうか？
また、移動距離とは床に対しての水平方向で考えているのでしょうか

回答No.5

SortaNerd

No4です。
うわ、書き間違ってますね。Rは半径です。
そして移動距離は床に対しての水平方向です。

お礼

理解できました。
本当に助かりました。ありがとうございます＾＾

回答No.3

noname#65902

うーん。回答に至ってないんですが、こういうことでしょうかねぇ...

> クロスにして乗せる

この状態で、上の円柱を傾けると、下の円柱の上面を「ころがる」ように
動きますよね。この時、円柱同士が触れてる位置が移動します。

上下の円柱の太細関係によっては、上の円柱の重心位置が上がるか下がるかが変わってくるのでは？
極端に太細の円柱を図にかいてみたらどうもそんな感じなんですよね...
だからといって、ごく僅かでも太さが違えば理論上そうなのか証明できてませんが...

上の円柱が傾いて、重心位置が上がるのなら戻ろうとして安定するし、
下がるならその方向の運動を続けてしまい、上の円柱が落ちる、と。

もちろん、後者は ANo.2 さんの言われる「不安定な釣り合い」であり、「ほとんど実現不可能」≒「乗せられない」という解釈です。

回答No.2

barao

私も乗せられないことはないと思います。
質問者様が考えているとおり、重心が鉛直な一直線上に並んでいれば、乗せられるはずです。

余談ですが、釣合いには安定な釣り合いと、不安定な釣り合いの2種類があります。
安定な釣り合いとは仮想変位に対して、釣り合いの位置に戻ろうとする力が働く場合で、お椀の底に静止したパチンコ球などが例として挙げられます。
不安定な釣り合いとはその逆で、仮想変位に対して、変位の方向に力が働く場合を言います。ひっくり返したお椀のてっぺんにあるパチンコ球を想像すればいいと思います。
(仮想変位とは、微小な微小～ぅな変位のことだと思ってください)

どちらも釣り合いには変わらないので、外力さえ働かなければ静止し続けることができます。
しかし、現実的には微妙な風の流れや、手を離したときのブレなどのせいで微妙に動いてしまうので、不安定な釣り合いの状態を実現するのはほとんど不可能です。

大学の先生も現実的に無理だということをおっしゃったのではないでしょうか？
そうじゃないとしたら、その教授に理由を聞いてみたいです。

(注意)
ただし、私の説明だと、太い円柱の上にも細い円柱を乗せられなくなってしまいます。
大学の先生の授業を聞いてないのでわかりませんが、
何か別の前提条件があるように思います。

回答No.1

shinkun0114

不安定にはなりますが、乗せることは可能なはずですよ。
なぜ乗せられないとおっしゃるのでしょうか？
何かに書いてありましたか？

補足

大学の教授が言っていたことです。

何かの書籍に載っていたわけではありません。