次のガウスの超幾何級数を初等関数で表わしたい

質問

実務で次のガウスの超幾何級数が出てきましたが、これを初等関数でシンプルに表したいのですが、どなたか教えてください。

2F1[1/2,1/2,1;(tanx)^2]および2F1[1/2,1/2,1;1/(tanx)^2]

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

2F1[1/2,1/2,1:kk] は、第一種完全楕円積分だから、
k=tan x でも、k=cot x でも、初等関数にはならないよ。

お礼

早速のご回答、ありがとうございます。
第一種完全楕円積分を調べてみます。

回答No.2

Ae610

質問者が使っている表記の仕方でちと分からないのだが・・・、(細かい事かも知れないが・・・)
2F1[α,β,γ；x]は一般化された超幾何関数を表すと言う意味で使っているのか・・・？
そうだとすると、表記の仕方が一寸違っているようにも思える。
2F1[α,β；γ；x]・・・のように表現すべきでは・・・と思う。

例えば、2F1[1/2,1/2；1；(tanx)^2]は
2F1[1/2,1/2；1；(tanx)^2] = F[1/2,1/2,1；(tanx)^2]
= {Γ(1)／(Γ(1/2)・Γ(1/2))}(Σ[n=0～∞]{Γ(1/2+n)・Γ(1/2+n)／Γ(1+n)}(tanx)^2n/n!)
=1/π・(Σ[n=0～∞]{Γ(1/2+n)・Γ(1/2+n)／Γ(1+n)}(tanx)^2n/n!)

Σをとっ外してΓ(1/2+n) ={(2n－1)!!/2^n}√πを使って(tanx)^2の展開式に出来なくもないが、それでも到底シンプルとは言い難いと思う・・・！？

お礼

ご回答と表記のご指摘、ありがとうございます。
NO１の回答もですが、シンプルな形にはならないようですね。
実際にはこの超幾何級数にcosx等がかかった積分の解がほしいのですが、
別途、改めて質問したいと思います。