電磁気の問題

質問

大学生です。ある電磁気の問題で
半径aの球を考える。球の内部にQの電化が一様に分布している。球の内部および外部には、どのような電位が生じるか。
といった問題があるのですが、その解法の中で、半径r(≦a)の球面をとり、その球面上の電場の大きさをEとして解く。
また外部の電位は、半径r(≧a)の球面をとり…
という記述があり、最終的には、取ったrの範囲により、rが∞のときなどを想定し、積分したときに出来る任意定数を消すことにより、答えを求めることが出来る、といった部分があるのですが、このrの取り方が腑に落ちません…。
なぜ、aを境界として取ることができるのでしょうか…？r≧0で取れれば、球面の内部も外部も同じrで取ることになり、解法が通用しません…。ということは、このrの取り方がこの取り方しか出来ない、のかなぁと考えているのですが、どうなっているのでしょうか…？

質問自体が分かりにくくてすみません。問題文や、模範解答などを完全に写してしまうと、著作権的にまずいのかなぁ…と思い、ぼやかして書いてしまった部分があります…。一応必要最低限は書いたつもりです。

よろしくお願いします。

回答No.1

gyrch · ベストアンサー

nabewariさん、こんにちは。

昔、私はこの様に解釈しました。
たとえば、導体球に電荷を帯電させると、球表面に一様に分布します。
これは、静電誘導により、
「導体内部のあらゆる位置で電場は存在せず、電位が等しくなる」
からです。
この問題の場合、球の中心から半径r(<a)の球面上の電場に影響を
与える電荷は、その球面の内側に存在するものだけです。
なぜなら、その球面の外側に存在する電荷を、球殻状に輪切りにした
領域ごとに振り分けると、すべての球殻において、割り当てられた
電荷は一様に分布するので、それらすべての球殻に共通する内部領域
（即ち、半径r(<a)の球面上とその内側）では、導体内部の場合と
同様であると見なすことができるからです。
つまり、球面上の電場に影響する電荷量が、aを境界として、半径r
に対して変化するというわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
うぅむ、導体内は電場が０になる、というのを把握してなかったかも、しれません。

回答No.3

foobar

＃２さんもかかれていますが、
r=aを堺にして状況が変わる(r<aではrの内側に均一に電荷が存在するが,r>aの場合には、rの内側の一部にのみ電荷がある）ので、
それぞれに応じて式を立てる必要があります。
（もちろん、一般的にr>0に関して、（例えば、ガウスの法則を使って）
E=1/(4πr^2ε)∫qdvのように式を作ることもできますが、
具体的に展開しようとすると、積分の計算のところでr<aのときとr>aのときで
場合分けすることになります）

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

SortaNerd

物理や数学の解答は結果しか書いていないので「なぜ」が分かりにくいと思います。
この場合、なぜも何も、そう取ってみたらうまく行ったというだけの話です。
なぜそう取ろうと思ったかといえば、半径aのところに物理的に境界があるのですから、式でもそこに境界があるかもしれないと考えるのは自然なことです。

お礼

回答ありがとうございます。