平行四辺形の底辺の求め方

質問

こんにちは。
お願いします。

算数は苦手なのですが、
「平行四辺形（ひし形）」の「対角線（Ｌ）」と「高さ（Ｈ）」から「底辺（Ｗ）」を求める方法を教えて下さい。

大工さんが間柱と間柱の間に「筋交い」を入れますよね。
この筋交いがぴったり収まるためには、その角材の両端をある角度で切断しなければならないのですが、これが「平行四辺形」です。
平行四辺形（筋交い）の対角線Ｌは「間柱のスパン」と「鴨居の高さ」から三角関数で求められますし、高さＨは「筋交いの角材の太さ」です。では、この四辺形の「底辺Ｗ」を求め、両端の「切断角度」を正確に求めるにはどうしたら良いのでしょうか。私には皆目分かりません。

大工さんはこんなに面倒な計算をしているのでしょうか。
それとも、他にちゃんとしたやり方があれば教えて下さい。

宜しくお願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

縦ｘ、横ｙの長方形の中に、高さＨ、対角線Ｌ＝√(ｘ^2＋ｙ^2)
の平行四辺形をすっぽりおさめる形なら、長方形と平行四辺形
の共有部分の片方の長さをｚとすれば、三角形の相似から
ｚ：Ｈ＝√{(ｘ－ｚ)^2＋ｚ^2}：ｙ　が成り立ちます。
これをｚについて解けば
ｚ＝{ｘＨ^2±ｙＨ√(ｘ^2＋ｙ^2ーＨ^2)}/(Ｈ^2ーｙ^2)
　＝{ｘＨ^2±ｙＨ√(Ｌ^2ーＨ^2)}/(Ｈ^2ーｙ^2)
平行四辺形の角をθとすれば、sinθ＝Ｈ/ｚなので、
sinθ＝(Ｈ^2ーｙ^2)/{ｘＨ±ｙ√(Ｌ^2ーＨ^2)}
から、切断角度が求められます。

つける部分のかどのところに筋交いの板を合わせてみて、
飛び出す部分に印をつけて切ればいいような気がしますが、
大工さんはどうするのかわかりません。

補足

たいへん丁寧に説明して頂きありがとうございます。
初歩的なことでお恥ずかしいのですが、補足説明をお願いできませんでしょうか。

この場合、「長方形と平行四辺形の共有部分（ｚ）」とは「筋交い材の切断面（平行四辺形の短辺）」のことで宜しいのでしょうか。

Ｈ＝√{(ｘ－ｚ)^2＋ｚ^2}

高さH（筋交い会の太さ）に対して何故この式が成り立つのかが理解できなくて困っています。宜しくお願いします。

回答No.4

debut

Ｎｏ１です。

＞この場合、「長方形と平行四辺形の共有部分（ｚ）」とは
＞「筋交い材の切断面（平行四辺形の短辺）」のことで宜しい
＞のでしょうか。
その通りです。

＞Ｈ＝√{(ｘ－ｚ)^2＋ｚ^2}
あ、すみませんでした。√{(ｘ－ｚ)^2＋ｙ^2}の誤りでした。
だから、ｚ：Ｈ＝√{(ｘ－ｚ)^2＋ｙ^2}：ｙ　でした。
ｙ^2と書いたつもりが、気づきませんでした。なお、それに
よって、最終結果は変わりません。

√{(ｘ－ｚ)^2＋ｙ^2}は、長方形の横と、平行四辺形の長い方
の辺と、長方形の縦から平行四辺形の短辺を引いた直角三角形
で三平方の定理を使ってます。

お礼

こんなに早く回答して頂きありがとう御座います。
「ｚ」が求められるということは数学的に解けるということですね。
二次方程式の結果は私の手には負えませんが、自分なりに納得ができました。
数学が苦手なので不安でしたが、皆さんが親切に回答して下さったので助かりました。
ありがとう御座いました。

回答No.3

Quattro99

大工さんがそのようにやっているかどうかはわかりませんが、思いついた方法があります。

対角線の長さは簡単にわかりますし、敷居と対角線、鴨居と対角線が作る角度θもわかります。
筋交いにする角材に対角線にあたる直線を引き、その対角線に対して角度θを作ればよいことになります。
つまり、筋交いと敷居、鴨居との角度（ご質問で求めようとされている角度）はわからなくてもよいわけです。

お礼

回答ありがとう御座います。
なるほど、グッド・アイディアですね！
実はCADを使って住宅の骨組みを描いていたとき、大工さんはいったいどうやってこんな刻みをやっているのかと疑問に思ったんです。
CADでしたら図形を組み合わせれば角度を計算しなくても作図できます。今度からは回答者さんの「角材に対角線入れる」という方法で結構簡単にゆけそうです。これはGooでした。
因みに住宅の設計は趣味でありまして、設備設計の経験はありますが建築士ではありません、ずぶの素人です。

回答No.2

Quattro99

ひし形ではないですよね？

平行四辺形の対角線Lと高さHがわかっても底辺は求まりません。
幅Hの平行線の一方の直線上に点Aを置き、他方の直線上で点Aからの距離がLである点をBとします。点Aを通り平行線と交わる直線Mを置き、点Bを通り直線Mと平行な直線をNとすると、最初の平行線、直線M、直線Nで囲まれる平行四辺形は、対角線の長さがLで高さがHですが、このような平行四辺形はいくらでも作ることが出来て、その底辺は一定ではありません。
従って、この求め方では切断角度は求まりません。

間柱（スパンをa）と鴨居、敷居（高さをb）で作られる長方形に筋交い（太さをc）を入れた場合に、筋交いの底辺の長さをxとして、相似と三平方の定理で方程式をたてれば求まりますが、かなり面倒な計算になります（2次方程式なので解の公式を使えば解けますが）。
大工さんがいちいちそんな計算をしているとは思えず、なにか別の方法を用いているのではないかと思います。その方法は私にはわかりません。

お礼

回答ありがとう御座います。
「ひし形」は私の勘違いでした、失礼しました。
取り敢えず電卓でできる計算ではなさそうなので、大工さんには「墨付け」などに何かやり方があるのでしょうね。
二次方程式の解はもう完全に忘れました、お恥ずかしい（汗）。