平行四辺形ABCDにおいて、辺AB,辺CDをそれぞれ3:1にわける点を

質問

平行四辺形ABCDにおいて、辺AB,辺CDをそれぞれ3:1にわける点をそれぞれE,Fとする。
(例：AE=3,EB=1)
EF,AFが対角線BDと交わる点をそれぞれG,Hとするとき、次の線分の比の求めよ。

(1)BH:HD

(2)GH:BD

この問題の回答及び解説をお願いしたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

m2rebirth · ベストアンサー

あまりうまく図が書けませんでしたが、こんな感じでよろしいでしょうか？

(1)まずBH:HDですが、△ABHと△FDHが相似となり相似比は４対１となります（ABとDFの比較）
よってAH:HDも４対１となる。

(2)△EBGと△FDGが合同となります（平行四辺形は対角線がそれぞれの中点で交わるでBG＝GD、∠BGE＝∠FGD…対頂角　∠EBG＝∠FDG…錯角　で一辺とその両端の角が等しいので）
よってFG＝GD　

　　　　　B　　(1)　　　G　　　(1)　　D　
　　　　　B　　　(4)　　　　　H　(1)　D　

　　　　　B　　(5)　　　G　　　(5)　　D　
　　　　　B　　　(8)　　　　　H　(2)　D

上はBDを一直線上にあらわしたときのそれぞれの比を次の図では同じ１０という比に合わせたということです。

よってBG:GH:HD　＝５:３:２となり　GH:BD＝３:１０となる。

お礼

画像付きでの解説ありがとうございます。
説明がわかりにくくてすみません。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6070779.html
で、画像を添付しなおして質問したのでよろしくお願いします。

お手数をおかけしてすみません。

回答No.2

Anti-Giants

訂正

(1)より HD = BH/4.
BH + HD = BH.

お礼

訂正了解しました。

回答No.1

Anti-Giants

ヒントのみ。

　　　　A------E--B

　　　　　　G
　　　H
D--F------C

こんな感じ

(1) BH：HD = AE：DF = 4：1
BHA と DHF の相似より（要証明）

(2) GH：BD = (GD-HD)：BD = 3BD/10：BD = 3：10
DGF と BGE が合同なので、DG = BD/2.
(1)より HD = BD/4.
あとは計算するだけ。

お礼

回答ありがとうございます。
少し自分で考えてみたいと思います。

他のみなさんも解説をしていただけると嬉しいです。