万有引力の法則について

質問

地球の半径をＲ、質量をＭとして地球の中心からｒの距離にある物体ｍに働く引力はＧＭｍ/ｒ＾2という公式があります。
これは地球外（ｒ＞Ｒ）のときはこれでよいのでしょうが、
では地球内部（ｒ＜Ｒ）では、ｒの減少とともにこの引力はどのようになるのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.6

nubou

物体１が同心球の位置の密度が等しい球であり
質量：Ｍ１
半径：Ｒ１
とし
物体２が同心球の位置の密度が等しい球であり
質量：Ｍ２
半径：Ｒ２
とし
物体１の重心と物体２の重心の距離をｒとし
Ｒ１＋Ｒ２≦ｒとし
万有引力定数をＧとすれば
物体１と物体２の間に働く引力の大きさＦは
Ｆ＝Ｇ・Ｍ１・Ｍ２／ｒ＾２である

従って重ならない限り球は質点として扱っても良い
同心球の密度が等しければ密度一定でなくても良い

求める方法は物体１が作る引力場の引力加速度ベクトルを求め
引力加速度ベクトルによって物体２に働く力を求めるか
対称性と立体角の定義に使われるガウス積分を利用する

一方が質点でない限り球が重なった場合は引力を求めるのは
数値計算でない限り難しそう

回答No.5

nubou

なにも考えずに先入観で答えてしまい大間違いしました
電荷同士のひきつける力と同じようにクーロン力で考えてください

地球が密度一様で質量Ｍとし
地球が半径Ｒの真球とし
万有引力定数をＧとし
物体を質量ｍの質点とし
質点が地球から受ける引力の大きさをＦとし
地球の重心と質点との距離をｒとしたとき
Ｒ≦ｒならばＦ＝Ｇ・Ｍ・ｍ／ｒ＾２であり
０≦ｒ≦ＲならばＦ＝Ｇ・Ｍ・ｍ・ｒ／Ｒ＾３である

回答No.4

osamuy

ちょっと補足。

　石原藤夫　「ハイウェイ惑星」（徳間デュアル文庫）所収の「空洞惑星」なんか参考になるかも。

というのは、ともかく。

地球の密度をρとすれば、M = 4πρr^3/3なので、GMm/r^2 = (4/3)πGmρr となるかと。

回答No.3

osamuy

えーと、積分してみると分かりますが、
もし地球がピンポン球のように、中がからっぽの状態で、その中に人間が入っているとしたら、その人間は無重量状態になります。

ｒ＜Ｒの状態を、足下の球体と、頭上の球殻の、二つの合成力と考えると、結局足下の球体の重力のみになります。

お礼

早速教えていただきましてありがとうございました。
専門じゃない（苦手な？：笑）ことを子供に質問されて困っていたところです。
母親の面目が保てそうです。

回答No.2

nubou

質量ｍの物体の重心から質量Ｍの物体の重心までの距離がｒであれば両物体間に働く力の大きさはＧ・Ｍ・ｍ／ｒ＾２でいいですよ
一方の物体が他方の物体の外にあろうが穴があって中にあろうが関係ありません

回答No.1

nubou

質量ｍの物体の重心から質量Ｍの物体の重心までの距離がｒであれば
両物体間に働く力の大きさはＧ・Ｍ・ｍ／ｒ＾２でいいですよ
一方の物体が他方の物体の外にあろうが穴があって中にあろうが関係ありません

お礼

早速教えていただきましてありがとうございました。
専門じゃない（苦手な？：笑）ことを子供に質問されて困っていたところです。
母親の面目が保てそうです。