万有引力の法則について

質問

高校物理の質問です。
物理IIに出てくる、万有引力の公式F=GMm/r^2なのですが、太陽の質量Mに比例する理由が分かりません。
この式の求め方で、大体の教科書では、引力が惑星の向心力となっているので、惑星の質量mに比例し、距離の２乗に反比例するとかいてあります。
ここまではいいのですが、その後、太陽の質量Mにも比例すると書いてあるのですが、どの出版社の教科書を見ても説明があいまいで納得できません。

なので、太陽の質量Mに比例することを理論的に説明してほしいです。
よろしくお願いします。

回答No.5

ZIMA0063

#1の補足です。

＞惑星を中心と考えを置き直し、「惑星は静止していて、太陽が回っていると仮定する」と、太陽は、惑星が太陽を引っ張っている引力F'と、惑星を中心（観測者）としているので、太陽には遠心力がはたらいていると考えなければなりません。
よって、太陽には引力F'と遠心力がはたらいて、それらがつりあっていることになり、円運動をしていることと矛盾してしまうのではないのでしょうか？

今、観測者は慣性系(太陽にも惑星にもいない別のどこか。神様になった気分で太陽と惑星を天から見下ろした気分で)と考えてください。
そうすると、慣性系では遠心力(慣性力：みかけの力)は考えません。

非慣性系(惑星上)で考えてしまうと、遠心力(慣性力)を考慮しなければならないのでめんどくさいです。

なぜかというと、非慣性系(観測者は惑星上にいる)で考えると、惑星上の観測者にとって、その惑星は引力と遠心力がつりあっていて、静止しているように見えるからです。
実際に、地球上のわれわれは地球が太陽の周りを円運動をしていることに気づきません。

ですので、質問主様のおっしゃる「惑星を中心（観測者）」ということは、非慣性系での考えになってしまいます。

繰り返しになってしまいますが、これでは遠心力を考慮する必要があります。
しかし、慣性力はみかけの力であって、慣性系で考えるときには、太陽と惑星の間にはお互いがお互いを引っ張る引力しか働いていないのです。

慣性系と非慣性系の説明については今回は割愛させていただきます。

参考URL：

http://www15.wind.ne.jp/~Glauben_leben/Buturi/Riki/Rikibase6.htm

回答No.4

sanori

へいっ　まいどっ！　＾＾

＞＞＞
回答ありがとうございます。
説明の前半部分はイメージはついたのですが、これを数式を使って説明することはできないでしょうか？

鉄球の質量を均一にしなくてもよいので、質量がばらばらであるとして式を立てます。

鉄球がｎ個あるとします。
それら１個１個の質量を、番号をつけて、
M1, M2, M3, ・・・・・M(n-1), Mn
と置きます。

重力定数をＧ、鉄球からの距離をｒと置くと、
１つの鉄球によって、距離ｒの地点に発生する重力加速度は、
Ｇ・Ｍk／ｒ^2　です。
全ての鉄球について考えれば、
距離ｒにおける重力加速度　＝　Σ[k=1→n] Ｇ・Ｍk／ｒ^2
です。
ここでは、ｒは定数なので、
Σ[k=1→n] Ｇ・Ｍk／ｒ^2
　＝　Ｇ・Ｍk／ｒ^2・Σ[k=1→n] Ｍk
となります。

ここで、Σ[k=1→n] Ｍk　が何かと言えば、
ｎ個の鉄球の質量を、ただ単に合計したものです！！！

よって、

距離ｒにおける重力加速度　＝　Ｇ／ｒ^2　×　鉄球の質量の合計

回答No.3

tono-todo

万有引力の公式は、これが定義ですから、理論も何もありません。
この式で表される力が万有引力です。
この引力が太陽系の場合、太陽と惑星の向心力となっている、という説明です。
教科書云々の筆問中の解説は、原因と結果が逆転した表記になってますね。
尚、万有引力は、２質点間に働く力ですから、人間と地球の間にも働いています。

物理・化学法則のすべてに言えることですが、これが正しいかどうかは全く不明です。
ただ、こういう法則があるとすると、うまく説明できる。矛盾が起こらない・・ということで、真実であろうと認められているものです。
ニュートン力学も究極の真理と考えられていましたが、光速の測定からうまく説明できないことがあることが判明し、アインシュタインの相対性理論が誕生しました。
法則は時代とともに、進歩・変化します。

回答No.2

sanori

こんにちは。

１つの鉄球があるとします。
この鉄球の引力により、１ｋｍ先にある物体にかかる引力を１とします。

もう１個、鉄球を用意し、２つの鉄球をなるべくくっつけて配置したとします。
すると、２つの鉄球それぞれが、１ｋｍ先の物体に１の引力を与えます。
合計の引力は２です。

もう１個、鉄球を用意し、３つの鉄球をくっつけて配置したとします。
すると、３つの鉄球それぞれが、１ｋｍ先の物体に１の引力を与えます。
合計の引力は３です。

つまり、引力は鉄球の個数に比例するわけです。

今度は逆に、
鉄球を破砕して細かい粒々に分けたとします。
すると、鉄球の個数は数えられなくなりますが、鉄の原子の数は数えられます。
原子１個１個が引力に寄与します。
粒々同士をくっつけて元の鉄球の姿にもどしても引力は変わりません。
つまり、引力は鉄原子の個数に比例するわけです。
それは、質量に比例しているということです。

太陽を粒々あるいは原子の固まりとして考えてみてください。

ガリレイがピサの斜塔から、質量の異なる２つの玉を落として、同時に落ちることを実証したという伝説がありますが、
これは、見方を変えれば、２つの球それぞれが、地球をどれだけの力で引きつけているかを示しているものです。
１ｋｇと１０ｋｇの玉であれば、
１ｋｇの玉は１の引力で地球を引っ張る、
１０ｋｇの玉は１０の引力で地球を引っ張る
１０ｋｇの玉を１ｋｇの玉１０個に分割しても、１０ｋｇの玉１個と同じ引力。
だから、１０ｋｇの中にある１０個の１ｋｇは、それぞれ同様に地球と近づこうとし、
地球を一方的に引っ張りたいけれども、系の重心はほぼ地球のど真ん中にあるため、地球はほとんど動かず、玉のほうが移動する、
結果的に同時に落ちるように見える、
ということです。

お礼

回答ありがとうございます。
説明の前半部分はイメージはついたのですが、これを数式を使って説明することはできないでしょうか？

回答No.1

ZIMA0063

ニュートンは、惑星が太陽の周りを回るためには、太陽の方向に引っ張るような何らかの力がかかっているのではないかと考えました。

そこで、質量Mの太陽の周りを、質量mの惑星がvの速さで、半径rの等速円運動をしているとします。

すると、太陽が惑星を引っ張る力Fは
　F＝m・v^2/r　(向心力)　――<一>

ケプラーの第三法則(惑星の公転周期Tの2乗は、その惑星の軌道半径の3乗に比例する<正確には「楕円軌道の半長軸の3乗に比例する」だが、今回は簡単にする>)より、
　T^2＝ks・r^3　(ksは比例定数)　――<二>

周期(1周するのにかかる時間)Tを速さvと半径rで表すと
　T＝2π・r／v　――<三>

<二>＝<三>^2より、周期Tを消去する
　ks・r^3＝(2π・r／v)^2
　　　　　　　　　　　　　∴v^2＝4π^2・r^2／ks・r^3
　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝4π^2／ks・r　　　　　――<四>

<四>のv^2の値を<一>に代入して、
　F＝m・v^2/r
　 ＝m・(4π^2／ks・r)／r
　 ＝(4π^2／ks) (m／r^2)
　 ＝K・m／r^2　　　　　　(4π^2／ks)＝Kとした。

この式から、太陽の引力は、惑星の質量に比例し、軌道半径の2乗に反比例することがわかります。

質問主さんに対する回答はここからです。

上記より、太陽の周りを回る惑星が引っ張られている力Fは、
　F＝K・m／r^2　――<五>
であった。

逆に、惑星も太陽を引っ張っている。
ここで、惑星を中心と考えを置き直し、惑星は静止していて、太陽が回っていると仮定すると、惑星が太陽を引っ張っている引力F'は、同様に計算して
　F'＝K'・M／r^2　――<六>

F(太陽が惑星を引く力)とF'(惑星が太陽を引く力)は作用・反作用の関係にあり、「F＝F'」である。　←ここがミソ

ゆえに、<五><六>から、
　K・m／r^2＝K'・M／r^2
　K・m＝K'・M　(r^2を消去)
　　　　　　　　　　　　　　∴K／M＝K'／m

ここで、
　K／M＝K'／m＝G　(G：ある定数)
とおくと、

　K＝GM , K'＝Gm　――<七>
の2式が得られる。

最後にKあるいはK'を、<五>ないし<六>に代入する。
　F＝F'＝G・M・m／r^2　(Gはここで万有引力定数という)
となる。

つまり、万有引力とは2つの物体の間にかかる力のことであって、AとBの双方に力がかかるのです。
これは、地球と地上の物体、地球と月、地上の物体どうしの間でも働く力です。

その力の大きさは、互いの質量Mとmに比例し、その距離rの2乗に反比例するということが、以上の式から求められました。

お礼

回答ありがとうございます。
私も最初同じ考え方をしたのですが、惑星を中心と考えを置き直し、「惑星は静止していて、太陽が回っていると仮定する」と、太陽は、惑星が太陽を引っ張っている引力F'と、惑星を中心（観測者）としているので、太陽には遠心力がはたらいていると考えなければなりません。
よって、太陽には引力F'と遠心力がはたらいて、それらがつりあっていることになり、円運動をしていることと矛盾してしまうのではないのでしょうか？