万有引力について

質問

質量M、半径ｂの一様な質量密度の球があり、この球の中心からｒ（ｒ＜b)の距離に質量ｍの質点が受ける万有引力がF＝－GｍMo/r^2　（Moは半径rよりも内側にある質量）　であることをガウスの法則と同様な考え方を使って示せ。
という問題なのですが、どのようにガウスの法則を考えればよいのでしょうか？
回答よろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

以下，「~」はベクトルを表します。

ガウスの法則は本来，電荷を源とする電場に関するものですが，数学的にはクーロンの逆２乗則と同値なので，同様の考えを重力場に適用することができます。

ガウス法則　∇・E~ = ρ/ε
両辺体積積分して，
∫∇・E~ dV = Q/ε
ガウスの定理によって左辺は面積積分になる。
∫E~・dS~ = Q/ε
閉曲面として半径rの球面をとると
4πr^2 E = Q/ε
∴E = Q/(4πεr^2)　→　クーロン則

上の逆を万有引力に適用
g = -GM/r^2
　　※　1/(4πεr^2)→-G，Q→M
4πr^2 g = -4πGM
∫g~・dS~ = -4πGM　…(*)
∫∇・g~ dV = -4πG∫ρdV
∴∇・g~ = -4πGρ

電場との類推によって，r < b における重力は 半径 r の内部の質量が中心に集中したとして逆２乗則を用いてよいということになります。これは，より基本的には球殻による重力が球殻外側では球殻の質量が中心に集中したとしてよく，球殻内側ではゼロであることが示されれば同等の証明となります。これについては，下記など参考になればと思います。

参考：
http://www.graveng.com/opinion/Pgb9513a.pdf
２３９ページ
http://homepage2.nifty.com/ysc/SF0A.pdf
１１ページ

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

ガウスの発散定理は

閉曲面内での場のベクトルの発散の体積積分 = 閉曲面上での面積ベクトルと場のベクトルの内積の面積分

ですが、これは、水流の強さを場のベクトルとすると、

閉曲面内での水の湧きだし量 = 閉曲面内から外へ流れ出る水の量

で、重力場では、水の湧きだし量=質量、水流の強さ=重力 と考えることができます。

つまり

水の単位体積当たりの湧きだし量 = 質量密度
と考えると、質量分布が球対称ならば、問題の対称性から水流の形が変わらないことが
直ちに判ります。つまり質量密度分布が一様でさえ有る必要はなく、球対称なら
質点とみなしてよいことが判ります。

お礼

お礼が遅れてすみません。わかりやすい回答ありがとうございました。

回答No.2

Quarks

一様に電荷が分布している球の内部で、中心からの距離が r[m] の地点における電場E(r)は、ガウスの法則を使うと
半径 r の球の電荷ｑ[C] がすべて球の中心に集中したときの電場と等しいことになるので
E(r)=(4πkq)/(4πr^2)
=k・q/(r^2)
と表されます。kは、クーロンの法則における定数です。
この地点に点電荷q'[C]を持ってくると、この電荷は、電場から静電気力F[N]を受けますが、その強さは
F=q'・E(r)=kqq'/(r^2)
=ｋ・q・q'/(r^2)　式（ア）

この形は、質量がm,m'の２物体が距離ｒ隔てて置かれているときに、互いに及ぼし合う万有引力F
F=G・m・m'/(r^2)
と酷似していることがわかります。

k→G
q,q'→m,m'
のように置き換えれば、本問における万有引力は

F=G・m・m'/(r^2)
と書けるはずだと期待できます。ただしm'は、半径rの球の質量で、題意から Mo と置くべきものですから
∴F=G・m・Mo/(r^2)

お礼

御礼が遅れてすみません。丁寧な回答ありがとうございました。