微分の仕方

質問

中心が直線y=1上にあり、半径が1の円群は、(x-c)^2+(y-1)^2=1 　c∈R　である。
ｙをxの関数と考えてxで微分すれば、2(x-c)+2(y-1)y'=0…（１）

とあるのですが、c∈Rとはどういう意味ですか。
xで微分すると、どうして（１）の式になるのでしょうか。（1）の式に至るまでがわかりません。
また、なぜ微分するのかわかりません。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

gtmrk · ベストアンサー

せっかくですので補足しておきますね。
今、x の関数

　y = f(x)

があったとして、これをパラメータとしてもつような『合成関数』

　z = g(y) = g(f(x))

を、xで微分すると、

　dz/dx = dz/dy * dy/dx

となります。これが『合成関数の微分』の定理です。
微分演算子を普通の分数として扱える（これは嘘ですが）と思えば
イメージがつかみやすいと思います。
ザックリしたイメージは【外身の微分 × 中身の微分】です。

例えば今、

　(1)　　y = 3x^2

で、

　(2)　　z = y^2 + 2y + 1

だったとしましょう。この合成関数 z を x で微分したいとします。
するとまず考えるのは代入でしょう。

　(3)　　z = (3x^2)^2 + 2(3x^2) + 1
　　　　　　= 9x^4 + 6x^2 + 1

z が x の関数として表せましたから、これは普通に x で微分できます。

　(4)　　dx/dx = 36x^3 + 12x

となります。
では、これを別のアプローチで考えてみましょう。
(1)式を x で、(2)式を y で微分します。

　(3)　　dy/dx = 6x
　(4)　　dz/dy = 2y + 2

です。これらはとても素直に理解できるはずです。
ということは、先の合成関数の微分定理に従うと z を x で微分したものは、

　(5)　　dz/dx = dz/dy * dy/dx
　　　　　　　　= (2y + 2) * 6x
　　　　　　　　= (6x^2 + 2) * 6x
　　　　　　　　= 36x^3 + 12x

となり、（当たり前ですが）同じ結果が得られます。
この例の場合 y が x で最初から表せていますから、
このように２通りの方法で微分できましたが、
ご質問のような式の場合、

　『y を x の関数と考えて』

とだけいわれて、その実体が見えていません。
つまり、『代入してから微分』は出来ないので、
合成関数と考えるほかないわけです。

蛇足でした。

お礼

ご回答ありがとうございました。合成関数を考えるわけですね。

回答No.2

gtmrk

こちらにもお答えしておきましょう。

　　(1)　　c ∈ R

の意味は、『c は 集合 R に属する』という意味です。
ここで R は 『Real Number』の R でしょうから、実数全体の集合です。
ということで結局、『c は任意の実数』という意味になります。

題意より、円の中心が直線 y = 1 上にあるわけですから、
中心の x 座標は（実数なら）何でもいいことになります。
そこで(2)のような書き方をしているわけですね。

　　(2)　　(x-c)^2 + (y-1)^2 = 1

今この式は、変数 x と、x の関数 y(x) で出来ています。
（この場合の y(x) を、(2)式で定義された『陰関数』と呼びます。）
よって y が含まれる項を x で微分するときは、

　　(3)　　d/dx{ (y-1)^2 } = 2 * (y-1) * dy/dx

としなければいけません。
これは合成関数の微分の公式そのままです。
x の項は何も考えずにすむので結局、

　　(4)　　2(x-c) + 2(y-1)y' = 0

となります。
また、『なぜ微分するのか？』とのことですが…
それはここに書いてあることからだけでは読み取りようがありません。

陰関数の微分 y' を利用して何かしたいのか、
接線でも求めたいのか、定かではありませんが
何かしら目的らしきことが前後に書かれているでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
陰関数、初めて知りました。合成関数が使われているのですか。
基礎力不足で理解が難しいです。

回答No.1

notnot

＞c∈Rとはどういう意味ですか。

c は実数という意味です。

＞xで微分すると、どうして（１）の式になるのでしょうか。（1）の式に至るまでがわかりません。

微分を知りませんか？高校生で習うのですが。微分を知っていればすぐわかることです。

＞また、なぜ微分するのかわかりません。

元の問題が何を求めているか書いてないので、微分する理由はわかりません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
言葉が足りなくてすみません。
微分する理由は定数Cを消すためなんです。

微分は知っていますが、xで微分するのにカッコ内は展開しないでy'が付いているのがわからないのですが。