三角関数の最大・最小問題にて

質問

三角関数の最大・最小問題にて
三角関数の最大・最小問題にてある解放へのやり方をみたら合成の公式、和積の公式、tanθ/2への置き換えと書いてありました
前者二つはいいのですが、tanθ/2への置き換えの式をほぼ見たことがありません
具体例をあげて欲しいです
宜しくお願いします

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

t=tanθ/2とすると

倍角公式（半角公式？）によって

sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2)=2tan(θ/2)(cos(θ/2))^2 (1)

ここで

(sin(θ/2))^2+(cos(θ/2))^2=1

(cos(θ/2))^2で割って

(tan(θ/2))^2+1=1/(cos(θ/2))^2

よって

(cos(θ/2))^2=1/(1+t^2) (2)

(1)に代入して

sinθ=2tan(θ/2)(cos(θ/2))^2=2t/(1+t^2) (3)

(2)を用いて

cosθ=2(cos(θ/2))^2-1=2/(1+t^2)-1＝(1-t^2)/(1+t^2) (4)

(3),(4)によりsinθ,cosθがt=tan(θ/2)によって表され、sin,cos の入った式をtの代数式に還元できます。うまく使うと効果があります。具体的には練習問題で身に着けてください。