偏微分について

質問

偏微分についてどうしても理解できないので、質問させて頂きます。
　z = 2y
　y = 2x
の時、∂ｚ／∂ｘは０だと思うのですが、
　z = 4x
としてからｘでの偏微分を考えてはいけないのは何故なのでしょうか？
ずっと疑問に思っているので、よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.9

arrysthmia · ベストアンサー

#4 の者です。
もう、我ながらくどいのですが、まとめです。

「∂z/∂x」は略記であって、数学的な表記ではありません。
この表記で文字 ｚ が表す関数は何か？を意識してはじめて、
数学の話になります。

z が２変数関数 Z(x,y) を表すと解釈するのならば、
∂z/∂x = ∂Z(x,y)/∂x = (∂/∂x)(2y) = 0 ですし、

z が１変数関数 Z(x,Y(x)) を表すと解釈するのならば、
∂z/∂x = ∂Z(x,Y(x))/∂x = (∂/∂x)(4x) = 4 です。

自分が何をしているのか、把握することが大切です。

尚、∂Z(x,y)/∂x = 4 とするのは、計算間違いです。
Z(x,y) = 2y という式の y は、関数の引数を表しているだけ
ですから、Z(u,v) = 2v と書いても、Z(a,b) = 2b と書いても
全く同じ式です。
Z(x,y) の y と、y = Y(x) の y との間には、何の関係もありません。

お礼

お返事が本当に本当に遅くなって申し訳ございません！！
忙しかったのと、考えたけどホントにわからなかったのと、ちょっと忘れてたのとが重なってこんなことになってしまいました…。
親切にご回答頂いたのに本当に申し訳ないです。

＞Z(x,y) = 2y という式の y は、関数の引数を表しているだけですから、Z(u,v) = 2v と書いても、Z(a,b) = 2b と書いても全く同じ式です。

この文章でなんとなくわかったような気がします。
確かに関数というものの意味を考えれば、括弧の中の文字はその関数の中で使われる文字であって、他の式で用いた文字とは関係ないですね。
もうご覧になっていないかも知れませんが、恐縮ながら質問（確認）させて下さい。

∂Z(x,y)/∂x = ∂(2y+0x)/∂x = 0　　　…(1)
∂Z(x,Y(x))/∂x = ∂(0x+2Y(x))/∂x = ∂(2*(2x))/∂x =4 …(2)
と解釈しました。(1)では、Z(x,y)という関数は引数にｘとｙという２つの変数を要求しますので、ｘの係数は０ということで中辺のように書け、よってこの式をｘで偏微分すれば０ということになります。
(2)は(1)と似たように考えてこうなるのかなという感じでまだちょっとまだあやふやです。。。
　y = Y(x) = 2x
を用いて、ｙ＝２ｘという表現を上のように解釈したものです。
こんな感じでよろしいでしょうか？？
もしお気づきでしたらご回答頂ければ嬉しいです。

回答No.8

medousa

＞解析力学の本から見つけました。
　　p ≡∂L / ∂q(dot)
上式では、ｑを定数とみなしてｑ(dot)で偏微分する。ｑとｑ(dot)は本来は時間微分により結ばれた変数であるが、上式ではその関係を忘れて単純に偏微分すればよい。これはどういうことなのでしょうか？？

Lはラグランジアン，qは一般化座標(x,y,zなど)です．簡略化のため，座標軸x上を運動する物体の∂運動方程式をオイラー・ラグランジュの方程式により導くことを考えます．物体の重心位置をxとすれば，その時間微分xdotは物体の重心速度となります．
さてオイラー・ラグランジュの方程式から運動方程式を導く際，
∂xdot / ∂x = 0
∂x / ∂xdot = 0
として計算しますが，これは，xdotがxの式で表されないことを前提としています．何故このような前提をたてることができるのか．それはxdotは重心という一点の速度を表しているためです．ある時刻t0において物体の重心速度xdotが２つあったら変ですね．つまり時間tを決定すると，重心位置での速度は一意（１つ）に決定するということです（つまりxdot(t)である）．これがxdotがxの関数でない理由です．
　それではxがxdotの関数でないのは何故か．これも同じです．重心位置xは時刻tが決まれば，ある一つに決定します．つまりある時刻において，１つの物体が２つの場所に同時に存在することはないということ意味しています．

（補足）
z = Z(x,y) = 2y
y = Y(x) = 2x
と書くと，
z = 2y = Z(x,y) = Z(x,Y(x)) = 2*2x = 4x
となり，
∂ z/∂ x = ∂ (2y)/∂ x = ∂ Z(x,y)/∂ x = ∂ Z(x,Y(x))/∂ x = 2*2∂ x/∂ x = 4
であるので，
∂ z/∂ x = 4
です．

∂ Z(x,y)/∂ x = ∂ Z(x,Y(x))/∂ x
が成立しないとすると，
y = Y(x) = 2x
という式がそもそも成り立たないということになってしまいます．

お礼

ご回答ありがとうございます。
解析力学の方は全体的にまだまだ勉強が足りない感じなので、
もっと勉強してから、改めて疑問が出てきたら質問させて頂きたいと思います。

回答No.7

arrysthmia

#4 の者です。#5 への補足を拝見しました。

くどいようですが、同じ文字で表されてしまっている
関数と変数を区別することが大切です。

z = Z(x,y) = 2y
y = Y(x) = 2x
と書いてみましょう。
x,y,z は変数名、Y,Z は関数名です。

御質問の ∂z/∂x を、#4 では、
∂z/∂x = ∂Z(x,y)/∂x と解釈しました。
ですから、∂z/∂x = (∂/∂x)(2y) = 0 です。

#5,#3,#2,#1 の方々は、
∂z/∂x = ∂Z(x,Y(x))/∂x と解釈しています。
ですから、∂z/∂x = (∂/∂x)(4x) = 4 となります。

微分している関数が異なるのですから、
結果が違うのは当然です。

#6 の方が、合成関数の微分について書いていますが、
#4 の解釈では、
dz/dx = (∂z/∂x) (dx/dx) + (∂z/∂y) (dy/dx)
∂z/∂x = 0, dx/dx = 1, ∂z/∂y = 2, dy/dx = 2
より、dz/dx = 4 です。
このような状況を、偏微分と全微分の違いと言います。

#5 の解釈では、z の表すものは Z(x,Y(x)) ですから、
最初から x の１変数関数であり、
∂z/∂x = dz/dx = 4 です。

z と Z を混同していると、両者の違いがわかりません。
その意味で、変数を変数で微分するという捉え方は
やめたほうが良いのではないかと思います。
独立変数とか従属変数とかいう考えは、そこから派生する
ものですね？

物理のことはよく知らないのですが、数学では、
関数をある変数について偏微分すると考えるのが普通です。

回答No.6

tono-todo

余りごちゃごちゃ考えないで機械的に処理できます。

dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy

ですから
この場合右辺第1項は０ですので第2項のみ残ります。
∂z/∂x=∂z/∂y*∂y/∂x

回答No.5

medousa

上記の式をより詳細に書くと，
z(x,y) = 2y(x)
です．つまりyは変数xと定数(この場合は0)のみで表現されます．このため，
∂z(x,y)/∂x = 2∂y(x)/∂x = 2 * ∂(2x)/∂x = 4
となります．もし，
∂z(x,y)/∂x = 0
と書いてしまうと，
2∂y(x)/∂x = 2 * ∂(2x)/∂x = 0
となるため，∂z(x,y)/∂x = 0としてはいけません．

補足

返答が遅くなりまして申し訳ありません。
皆さんご回答いただきましてありがとうございます。

独立変数か従属変数かを考慮することが肝心だということはわかりました。
教科書とかには偏微分は「注目する変数以外は定数とみて微分する」と書いてあるので、
ｙがｘの関数であるという拘束を解かれて、定数になるのかと思っていました。

しかしまだ全然疑問が残っています。
まず、＃４と＃５の方は背反することを言っているように思います。
それとも両者の前提が違うのでしょうか？？
まだ理解が曖昧なので解説をお願いできませんでしょうか？

あと、ｚ＝２ｙのとき、ｚ（ｘ,ｙ）なのかｚ（ｙ）なのかを判断するのにはどうしたらよいのでしょうか？
数学だと変数を用いる時に正確な定義が述べられたりするのでしょうが、
物理学などでは、そういった記述はないと思うので、
独立か従属かはどうやって見分けるのでしょうか？

最後にもう一つ。
恐らく今回の混乱を招いた元凶と思われる記述を、解析力学の本から見つけました。
　　　p ≡∂L / ∂q(dot)
　　上式では、ｑを定数とみなしてｑ(dot)で偏微分する。
　　ｑとｑ(dot)は本来は時間微分により結ばれた変数であるが、
　　上式ではその関係を忘れて単純に偏微分すればよい。
これはどういうことなのでしょうか？？
どの変数を独立とみなせるかがある程度自由に決められるような印象を受けてしまうのですが。。。

長くなりましたが、引き続きよろしくお願いします。

回答No.4

arrysthmia

z を x で偏微分する… と考えるから、変なことになります。
偏微分される対象は、変数ではなく、関数です。

２変数関数 z(x,y) = 2y を考えて
∂z(x,y)/∂x = 0 とする分には、疑問はないでしょう？

z = 2y, y = 2x から y を消去して z = 4x とすることは、
z(x,y) = 2y, Y(x) = 2x から 合成関数 z(x,Y(x)) を作る
ことに相当します。
これを全微分すれば dz(x,Y(x))/dx = (d/dx)4x = 4 です。

∂z/∂x = 0 と書くときの分子の z と
dz/dx = 4 と書くときの分子の z とでは、
省略のしかたが異なっており、実は
別々の関数を指しているのです。

回答No.3

fuuraibou0

ｚ　は　ｙ　の関数で、ｙ　がなお　ｘ　の関数であるから、ｙ　は従属変数で、　
∂ｚ/∂ｘ＝∂{２ｙ}/∂ｘ＝∂{２(２ｘ)}/∂ｘ＝４　です。

なお、ｚ＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｘ^3ｙ^2　を偏微分すると、
∂ｚ/∂ｘ＝２ａｘ＋ｂｙ＋３ｃｘ^2ｙ^2、　∂ｚ/∂ｙ＝ｂｘ＋２ｃｘ^3ｙ　になりますが、
この場合は、ｘ，ｙ　が共に独立変数です。。

回答No.2

tono-todo

Ｚは、ｙとｘの変数のように見えますが、ｙは独立変数ではありません。
ｙはｘの従属変数です。
ＺがＸとｔの変数だったとすると、と考えると、先に進みませんか？
Ｚをｙで微分した後、Ｘで偏微分です。

回答No.1

sanori

？！

こんばんは。

ｚ＝４ｘ　でよく、
∂ｚ／∂ｘ　＝　４
ですよ。

補足

ぐはっ！！まじですか。。。
では、ｚ＝２ｙの段階でｘで偏微分して０としてはいけないのは何故なんでしょうか？？
バカですいません…(>_<)