チコノフの定理の適用について

質問

以下の問題がわかりません。

Aを開区間(-a,a)で連続な単調増加関数の集合とします。
Aに属する任意の関数をfとすると、fは以下の条件を満たします。
１、f(0)=0
２、0≦x<aのとき、f(x)≦x/1-x
３、-a<x<0のとき、f(x)≧x/1+x

このとき、{f_i}をAの任意のネットとすると、上の条件より、{f_i(x)}は各xについて有界です。
ここで、
『チコノフの定理より、有界な関数fに各点収束する部分ネット{f_i}が存在する。』

とあるのですが、どこでどのようにチコノフの定理が適用されているのかがわかりません…

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

直積集合 [0,1] × [0, 1] の元 (a_1, a_2) は 集合 {1, 2} から [0, 1]への写像 a : {1, 2} -> [0, 1] と考えられますね。

同じく、直積集合 [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] の元 (b_1, b_2, b_3) は集合 {1, 2, 3} から [0, 1] への写像 b : {1, 2} -> [0, 1] と考えられますね。

どんどん直積の数を増やしていって、「(-a, a) の区間に含まれる実数個」だけ直積を考えれば Π_{x ∈ (-a, a)} [0, 1] の元 (...., c_x, ... ) は集合 (-a, a) から [0, 1] への写像 c : (-a, a) -> [0, 1] と考えられますね。

という感じ。

直積集合に標準的に直積位相を入れれば、それが写像で言うところの各点収束という意味になるはず。

お礼

アドバイスありがとうございました。

補足

直積と同一視できるという点についてはわかりました。わかりやすく説明していただき、ありがとうございます。

今度は直積集合に標準的に直積位相を入れると、各点収束になるというのがいまいち理解できないのですが、

直積集合の各[0,1]×[0,1]×…×[0,1]×…の元(c_1,c_2,…,c_n…)を考えると、これが(-a,a)から[0,1]への写像f;(-a,a)->[0,1]と同一視できますが、各[0,1]ごとにc_jはある値Cへ収束するので、ネット{f_j}は各点である関数fに収束し、これは写像で言うところの各点収束に相当する、という意味でしょうか？？

回答No.9

mikaemi

あと、気になったのは、わたしに対する返答は、「この回答への補足」でいいでしょうが、そのほかの人への返答は、「この回答へのお礼」にしたほうがいいんじゃないでしょうか？どうでもいいといえば、どうでもいいですけど（笑）

お礼

理解できました。ありがとうございました。

補足としたのは、できれば続きの回答がいただければ、と思ったからです。

回答No.8

mikaemi

あはは。補足は不要だったですね。「{f_i(x)}が各xについて有界」だと理解できているなら、-a < x < 0 なる x についてはf_i(x)∈ [x/(a+x), 0]、x = 0 については f_i(x)∈[0, 0] 、0 < x < a なる x についてはf_i(x)∈[0, x/(a-x)]となることはわかっているはずですものね^^; 失礼しました。

回答No.7

mikaemi

えーっと、補足：

[αx, βx] として、-a < x < 0 なる x については [x/(a+x), 0]、x = 0 については [0, 0] （一点になることが気持ち悪ければ、[-1, 1] でもなんでもいい（笑））、0 < x < a なる x については[0, x/(a-x)]であると思ってもいいです。条件1,2,3 から、そのように言えるので。

回答No.6

mikaemi

あぁ。。。積位相の入り方がわからないのかな？どんな位相の教科書にも載ってると思いますけど^^

無限個の位相空間Xiがあったとき、ΠXiの位相というのは、任意有限個（この有限個ってところが重要）のXi1, ..., Xin を取って、それらの任意の開集合Ui1, ..., Uin を考えます。i1,...,in以外の添え字を持つXiについてはUi=Xiとします。ΠXiの近傍系をΠUiの形のもの全部として、この近傍系から誘導される位相が、チコノフの定理で考えている積位相です。※選ぶの一個でもいいです。結局、そういうものから導入される位相は、任意有限個としたものから導入した位相と一致するので。

それで、問題文にあてはめると、fの近傍系として、x0∈(-a,a)を一つ取ったとき、任意の正数ε>0に対して、開区間(f(x0)-ε, f(x0)+ε)=Ux0を考えます。x0以外のxについては、実数Ｒ全体(-∞, +∞)=Uxととってもなんでもいいです。そうすると、fが{f_i}に収束しているのと、あるnから先の添え字jについて、f_j がΠxUxに含まれるということは同じですね。x0 について考えれば、f_j(x0)∈(f(x0)-ε, f(x0)+ε)、すなわち、{f_j(x0)}はf(x0)に収束してます（各点収束）。

あとは、しっかり「位相空間」のテキストを読んで理解してください。

以下の本のいずれかをお薦めします。（松坂さん以外は、絶版かもしれませんが）
・森田紀一著『位相空間論』岩波全書 岩波書店
・松坂和夫著『 集合・位相入門』岩波書店
・ケリー著 児玉之宏訳『位相空間論』数学叢書 吉岡書店

回答No.5

mikaemi

失礼^^ 「各店」じゃなくて、もちろん「各点」です（笑）

回答No.4

mikaemi

「・・有界な関数fに各店収束・・」というのはおかしいですね。
たとえば、f(0)=0、f(x)=x/(a-x) [0<x<a]、f(x)=x/(a+x) [-a<x<0] と f を定義して、{f_i}のすべての要素が f に等しいとすると、もちろん、{f_i}のどんな部分ネットも f に収束しますが、f は有限であっても有界ではありません。lim x->a f(x) = +∞　ですよね。

で、『チコノフの定理より、有限な関数fに各点収束する部分ネット{f_i_j}が存在する』という風に読み替えると、まあわかる^^

開区間(-a,a)で定義された有限な関数全体Ωを考えます。Ωの要素gと任意の点 b と任意の正数 c > 0 を取って、|g(b)-f(b)| < c を満たすようなもの全体を g の(b,c)-近傍と定義して、集合Ωは、この近傍系から誘導された位相が入っている位相空間と考えます。
そうすると、この位相で考えてネットがある関数fに収束することと、ネットの要素の関数がfに各点収束することは同じだということはわかりますよね？

それでは、次は積位相を考えましょう。各点xについて {f_i(x)} が有界（すべてのf_iについて、f_i(x)が、閉区間[αx, βx]に含まれているとしましょう）ですから、Πx[αx, βx] の積集合（開区間(-a, a)に含まれるすべての x にわたる積）を考えると、[αx,βx]はコンパクトだから、その積集合もコンパクトですよね（ここに、チコノフの定理が使われます）。また、Ａに含まれている関数gは、xで添え字付けられたΠx[αx, βx]の要素と考えられますね（∵各xについて、g(x)∈[αx, βx]だから）。また、ＡはΩの部分集合で、Πx[αx, βx]も集合としてΩの部分集合と考えられますね。

積位相のΠx[αx, βx]の位相と、単なるΠx[αx, βx]をΩの部分集合と考えたときの相対位相が等しいことはわかりますね？それがわかればあとは簡単。「Πx[αx, βx]はコンパクトだから、あるfに収束する部分ネットがある」といえます。fはΠx[αx, βx]に含まれている、すなわち、各xについて、f(x)∈[αx, βx] なので有限関数です。

わかりますか？^^;

回答No.3

mikaemi

これ、条件の書き間違いですか？
カッコを書いていないのは書き間違いとしても、
-1 と 1 で不連続（その近くで絶対値が限りなく大きくなる）になって、
下からと上からそれぞれ押さえてますけどあまり意味ないですよね、
単調増加関数なんだから^^

区間を閉区間でなく、開区間の (-a, a) としてるということは、
問題の意図からして、

1. f(0) = 0
2. 0 < x < a ⇒ f(x) <= x / (a - x)
3. -a < x < 0 ⇒ f(x) >= x / (a + x)

でしょうか？

補足

すいません、書き間違いでした。
正しくはmikaemiさんの仰る通り、
1. f(0) = 0
2. 0 < x < a ⇒ f(x) <= x / (a - x)
3. -a < x < 0 ⇒ f(x) >= x / (a + x)

です。訂正ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_

>どこでどのようにチコノフの定理が適用されているのかがわかりません…
関数を積集合 Π_{x ∈ (-a, a) } I_x ここで I_x = [0,x/(1-x)] or I_x = [x/(1+x), 0] の元と考えているのでしょう。

補足

程度の低い質問ですいませんが、『積集合の元として考える』というのがわかりません…

そもそも、直積をとったら、とる前の集合と性質が異なってしまうのではないでしょうか？