順序集合について…

質問

Ａが全順序集合ならば、Ａの最大元と極大元の最小元と極小元の概念は一致することを示せ。
という問題なのですが、
つまり最大元(最小元)⇒極大元(極小元)これは、定義より当たり前なので
極大元(極小元)⇒最大元(最小元)これを示せばいんですよね。

ここが問題で、私にはこの最大元(最小元)と極大元(極小元)の違いがよく分かりません。詳しく教えてくれませんか？

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

教科書を見ること.
で済ますと意味がないので書いてしまうけど, 「全順序集合」というのは「任意の 2要素 a, b に対して a < b, a = b, a > b のいずれか 1つが成り立つ」集合. 雑談してるときなら「比べられる」でいいかもしれないけど, きちんと証明をしようというときにはやはりきちんと定義を思い出す必要があります.
で, 全順序集合において「極大値は最大値でもある」というのはこの定義からほぼ自明で, 簡単には背理法を使えばよし.

補足

すごくわかりやすかったです。説明ありがとうございます。

最後に、背理法を使っての証明なんですが、これは「極大値は最大値でもある」っていうのを否定して導き出すんですよね？

回答No.6

Tacosan

あ, 背理法使うまでもないや.
全順序集合であることと極大元の定義だけから簡単に出ちゃう. 背理法なら当然その仮定ですが, うまくやらないと変なところでもめるかも....

回答No.4

Tacosan

「比べられる」って, 「何と何が」比べられると言っているの?
もっと正確に「全順序である」ことを言えませんか?

補足

すいませんよく分からないです。
教えてもらえませんか？

回答No.3

Tacosan

「全順序」の意味はわかりますか?

補足

比べられるって事ですよね？

回答No.2

ojisan7

>最大元と極大元の違いがよく分かりません
Aのどの元よりも大きいAの元をAの最大元といいます。

Aの元であって、それよりも大きいAの元がない場合、その元をAの極大
元といいます。

よく似ていて分かりにくいですね。具体例として、（自明でない）
イデアルの包含関係を考えれば、わかりやすいと思います。

補足

なんとなく理解できました。
ですが、なぜ全順序集合の場合だと、最大元＝極大元になるのですか？

回答No.1

Tacosan

「他のどれよりも大きい」のが「最大元」, 「他のどれよりも小さくない」のが「極大元」.
「大きい」と「小さくない」とでは違うことに注意してください.