Σについて

質問

n
Σk^2=1/6n(n+1)(2n+1)
K=1

n
Σk=1/2n(n+1)
k=1

を証明せよという問題なのですが
どういう方針で考えればよいかわかりません。
ネットでも調べたのですが載ってなくて・・・

どうかご教示お願いします。

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

Σ[k=1,n] k については、
Σ[k=1,n] k = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n　　・・・（１）
この右辺を逆順に書いて
Σ[k=1,n] k = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1　　・・・（２）
（１）と（２）の辺々を足すと（（１）と（２）の項を順に組み合わせて）
2×(Σ[k=1,n] k) = (n+1) + (n+1) +...+ (n+1) 　　　→ (n+1) を n 個加算してる
　　　= n(n+1)
∴
Σ[k=1,n] k = n(n+1) / 2

または、
(k+1)^2 - k^2 = 2k + 1
の k=1 から n までを書き上げると
2^2 - 1^2 = 2×1 + 1
3^2 - 2^2 = 2×2 + 1
4^2 - 3^2 = 2×3 + 1
....
n^2 - (n-1)^2 = 2×(n-1) + 1
(n+1)^2 - n^2 = 2×n + 1
これら全ての辺々を加算すると、左辺は2^2からn^2までが消えて
(n+1)^2 - 1 = 2×(Σ[k=1,n] k) + n
∴
Σ[k=1,n] k = {(n+1)^2 - (n+1)} / 2 = n(n+1)/2

Σ[k=1,n] k^2 については、
(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1
より、先と同様に k=1 から n まで書き出すと
2^3 - 1^3 = 3×1^2 + 3×1 + 1
3^3 - 2^3 = 3×2^2 + 3×2 + 1
...
n^3 - (n-1)^3 = 3×(n-1)^2 + 3×(n-1) + 1
(n+1)^3 - n^3 = 3×n^2 + 3×n + 1
やはりこれら全ての辺々を加算すると、左辺は2^3からn^3までが消えて
(n+1)^3 - 1 = 3×(Σ[k=1,n]k^2) + 3×(Σ[k=1,n]k) + n
Σ[k=1,n]k = n(n+1)/2
より、
Σ[k=1,n]k^2 = {(n+1)^3 - 1 - 3n(n+1)/2 - n}/3
= {2(n+1)^3 - 3n(n+1) - (n+1)}/6
= n(n+1)(2n + 1)/6
あんまり面白い方法じゃあないけど、いろんなところで紹介されている方法です。

回答No.3

muttysatty

ANo2です
訂正
Σk^2は
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
をｎを1からｎまで変えて
辺ペンを加えることで
(n+1)^3-1=3Σk^2+3Σk+n
から得られます

Σｋも
(n+1)^2-n^2=2n+1
をｎを1からｎまで変えて
辺ペンを加えることで
(n+1)^2-1=２Σｋ+n
から得られます

回答No.2

muttysatty

Σｋは初項が１公差が１の等差数列のｎ項和
S＝n*(a+z)/2 z=a+(n-1)*d の公式から
得られます　　
Σk^2は　n^3 -(n-1)^3 =3*n^2 - 3*n + 1
をn=2からｎまで辺ペンを加えたら左辺がn^3-1のみになり
得られます。

回答No.1

koko_u_

簡単なのは帰納法

補足

スイマセン
数学的帰納法はつかわないほうこうで
なんとかなりませんかね？