x/(x^2+1)^2の積分

質問

わかりません。考えすぎて頭が痛くなってきたので質問させてください。
解はわかっていて（1/2）・1/(x^2+1)となるらしいのですが、自分が計算すると（-1/2）x^2・1/(x^2+1)となってしまいます。計算の過程を教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

＃１です。
A#1の補足質問の回答です。
質問者さんは微分と積分の関係が良く分かって見えないようですね。
微分と積分は別物といった、理解しかして見えないのが、
積分問題を解く無くしている原因のようです。
時間がある特にじっくりと不定積分公式集を良くみて考えてみると良いですね。

＞＞{1/(1+x^2)}'={(1+x^2)^(-1)}'
＞(-2x)/(1+x^2)となりました。
間違いです。(1/x)'=-1/x^2となりますね。
分母の二乗を忘れていますね。

{1/(1+x^2)}'=(-2x)/(1+x^2)^2
これは
1/(1+x^2)＋C=∫(-2x)/(1+x^2)^2dx
と同じ内容なのです。
これをじっくり眺めて理解しておいてください。

両辺に(-2)を掛けて、左辺と右辺を交換すれば
∫x/(1+x^2)^2dx=(-2)/(1+x^2)＋C' (積分定数C'=-2Cとおく）
これで積分が求まったことになります。(1とx^2の足し算は逆ですが…。)

＞やはり与式からは解を導けません。
＞∫x(x^2+1)^-2 dx
＞=(1/2)x^2*{-(x^2+1)^-1}
＞となってどうしてもx^2が消えません。
こう書かれるのは上に書いたことを正しく理解して見えないことの結果かも知れません。
上の解答を今一度じっくりご覧になって正しく理解するようにして下さい。

お礼

再度のご回答をありがとうございます。
まだまだ微積分の基礎もあやふやだということがよくわかりました。
まずは基礎をがっちり固めようと思います。

回答No.3

kkkk2222

>> （-1/2）[x^2/(x^2+1)]となります。

　　符号だけの計算違いと思われます。
　　符号を調べて、

　　　(1/2）[x^2/(x^2+1)]

　　　となれば正解です。

　積分定数の違いより、
　一見、異なる式に見えてしまいます。

　また積分の方法で、異なる式が現れます。

　　次の様に変形すれば、
　　(-1/2）/(x^2+1)が現れます。

(1/2）[x^2/(x^2+1)]　　　　　　　　　　　　　＋Ｃ１
=[(1/2）x^2]/(x^2+1)　　　　　　　　　　　　＋Ｃ１
=[ { (1/2）x^2+(1/2） }+(-1/2）]/(x^2+1)＋Ｃ１
=(1/2) + [(-1/2）/(x^2+1)]　　　　　　　　＋Ｃ１
=(-1/2）/(x^2+1) 　　　　　　　＋(1/2)＋Ｃ１
=(-1/2）/(x^2+1) 　　　　　　　＋Ｃ２

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参考を記して終わります。

p=∫dx[x/{(x^2+1)^2}]

x^2+1=T
dx・2x=dT
dx=[dT/2x]

p=∫[dT/2x][x/T^2]
=(1/2)∫dT[1/T^2]
=(1/2)(-1/T)
=(-1/2)[1/(x^2+1)] 。

お礼

ありがとうございます。
置換積分すればよかったですね。
計算練習を徹底しようと思います。

回答No.1

info22

ヒント）
{1/(1+x^2)}'={(1+x^2)^(-1)}'
を計算してみてください。

お礼

ありがとうございます。
(-2x)/(1+x^2)となりました。これを積分の解の(-1/2){1/(x^2+1)}

（↑質問文の解は間違っていました、上記の通りマイナスがついて(-1/2){1/(x^2+1)}です）

を微分すると与式が得られることがわかったのですが、やはり与式からは解を導けません。
∫x(x^2+1)^-2 dx
=(1/2)x^2*{-(x^2+1)^-1}
となってどうしてもx^2が消えません。
よろしかったらまたご教授ください。