方程式がx=1だけを解にもつ

質問

方程式 (a+b^2)x^3+(2b+c)x^2+6x+2a-c=0 は，
x=1 だけを解にもつ．このとき実数 a,b,c の値を求めよ．

(答)
(a,b,c)
=(-7,3,-12)、(-2,-2,-2)、({-7∓√13}/2,{1±√13}/2,-4∓√13)、({-7∓√13}/2,{1±√13}/2,-1∓√13)

どうか計算過程を教えていただけないでしょうか。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

a+b^2≠0のとき、
(a+b^2)x^3+(2b+c)x^2+6x+2a-c=(a+b^2)(x-1)^3
と因数分解できるので、xの次数の係数の較べると、
2b+c=-3(a+b^2)
6=3(a+b^2)
2a-c=-(a+b^2)
これを解くと、
(a,b,c)=(-7,3,-12)、(-2,-2,-2)

a+b^2=0、2b+c≠0のとき、
(2b+c)x^2+6x+2a-c=(2b+c)(x-1)^2
と因数分解できるので、xの次数の係数の較べると、
6=-2(2b+c)
2a-c=2b+c
これを解くと、
(a,b,c)=((-7±√13)/2,(1±√13)/2,-4∓√13)

a+b^2=0、2b+c=0のとき、
6x+2a-c=6(x-1)
より、
2a-c=-6
これを解くと、
(a,b,c)=((-7±√13)/2,(1±√13)/2,-1∓√13)

お礼

ありがとうございます。

何次になるかで場合わけをしていくのですね。

回答No.2

Tacosan

逆に考えてみる.
つまり, 例えば「x=1 だけが解であるような 3次方程式」がどのように書けるかを考えれば, 各係数がどのような条件を満たせばいいかがなんとなくわかる.

ただし「係数に文字が含まれる」ので, この方程式が必ずしも 3次方程式とは限らないという落とし穴もちゃんと掘ってあることには注意.

お礼

ありがとうございます。

方程式 (a+b^2)x^3+(2b+c)x^2+6x+2a-c=0 は，
x=1 だけを解にもつ．

←→

(a+b^2)x^3+(2b+c)x^2+6x+2a-c=0
⇔ (x-1)^3=0 または (x-1)^2=0 または (x-1)=0

ということなのですね。