Gaussの消去法＆ニュートン法

質問

どうもこんにちわ
・ガウスの消去法は未知数が多くなると適用できないのはなぜでしょうか?
・ニュートン法は真の解の近くで収束の速度が速いのはどうしてでしょうか?
この二つが分かりませんどなたか協力お願いします。

回答No.1

my3027 · ベストアンサー

>ガウスの消去法は未知数が多くなると適用できないのはなぜでしょうか?
手順として、最後の行の未知数を1とし、それ以外は0となるように各行の係数で加減乗除したりします。未知数が多い(行数が多い）ので最終行の多くの未知数を他の行を加減乗除した係数で0となければなりません。その度に丸め誤差や切り捨て誤差が累積し、結果的に精度の悪い解となってしまいます。参考に通常は反復法が使われると思います。

>ニュートン法は真の解の近くで収束の速度が速いのはどうしてでしょうか?
関数f(x)=0を根の推定値x_0でテイラー展開すると、
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+・・・=0------(1)
これを変形して、一般化すると、
x_k+1=x_k-f(x_k)/f'(x_k)------------(2)
ここでx_k,x_k+1,x_k+2・・・と真値に近いづいていきます。
関数f(a)=0としてそのテイラー展開を第3項迄計算すると、
f(x_k+d)=f(x_k)+f'(x_k)d+f''(x_k)d^2/2=0-----(3)
(3)をf'(x_k)≠0で割ると
f(x_k+d)/f'(x_k)=f(x_k)/f'(x_k)+d+f''(x)d^2/2/f'(x_k)=0-----(4)
dは根aからの差つまり
d=a-x_k-------(5)
(4)の右辺第一項を(2)で書き換えると、
a-x_k+1=-(a-x_k)^2*f''(x_k)/2/f'(x_k)-------(6)
ここで想定区間における|f''(x_k)/f'(x_k)|の最大値をMとおくと
|a-x_k+1|≦(a-x_k)^2*M/2-------(7)
この式はxのk+1番目と根との差は、xのk番目とaとの差(真の解との差）の2乗に比例して小さくなる事を示しています。真の解に近づくと左辺の括弧内は小となり、その2乗に比例し左辺の誤差も小となるので収束が早い。