エネルギー保存の法則と運動量保存の法則

質問

こんにちは。エネルギー保存の法則と運動量保存の法則の使い方の違いがわからなくなってきたので質問します。

以下は問題集中の問題と問いです。

問題：
「　なめらかで水平な床の上に、粗くて水平な上面を持つ質量Ｍの台Ｄが置かれている。台の上に質量ｍの物体Ａを置き、水平右向きに初速ｖoを瞬間的に与えたところ、Aが台上を運動し始めると同時に、台Dは床上をAと同じ向きに運動を始めた。

　　　　　→ｖo
　　　　　・・・・・
　物体Ａ・　ｍ・
　　　　・・・・・・・・・・・・
　台Ｄ・　Ｍ　　　　　　・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

問：
　台Ｄと物体Ａが一体となって運動する速度Ｖoを求めよ。」

解答：
　物体Aと台Dを一体と考えると、A,Dに働く水平方向の外力が０である。よって、A,Dの運動量の和が保存される。
　よって、ｍ・Vo＋Ｍ・Vo＝ｍ・ｖo
よって、Vo＝ｍ・ｖo／（Ｍ＋ｍ）

[私の質問]
　この場合、エネルギー保存法則が成り立つと考えれば、
１／２・ｍ・ｖo^2＝１／２ｍ・Vo^2＋１／2Ｍ・Vo^2
∴Vo^2＝ｍ・ｖo^2／（Ｍ＋ｍ）
∴Vo＝√（ｍ／ｍ＋Ｍ）・ｖo
となり、結果が違ってくると思います。

この場合にエネルギー保存法則ではなく、運動量保存の法則を適用する理由（エネルギー保存法則を適用しない理由）は何でしょうか？

解説を願いします。

回答No.7

moumougoo · ベストアンサー

運動量保存の法則：運動方程式と作用反作用から導かれる法則です。
運動量は運動方程式と
f = ma = m dv/dt
∫fdt = m v(t) - m v(0)
という関係にあります。
で、閉じた系を考えると、力があれば作用反作用で逆向きの力があります。
したがって、AとBというモノがあれば
f(A→B)=-f(B→A)
m(A) v(A;t) - m(A) v(A;0) = -{m(B) v(B;t) - m(A) v(A;0)}
となって、結局、
m(A) v(A;t) + m(B) v(B;t) = m(A) v(A;0) + m(B) v(B;0)
と変形できて
時刻tの「系全体の」運動量は、はじめの運動量と同じ
つまり運度量は保存されるとなります。
摩擦でお互い力を及ぼしあおうが、作用反作用として力を及ぼしあっている限りは
成り立ちます。もちろん外から力が加わった場合は成り立ちません。

エネルギーの法則：
こちらも運動方程式の積分なのですが、道のりにそっての積分です。
そして、道のりにそって変わらない量がエネルギーです。
力が場所の関数f(x)とすると、ある軌道x(t)について
∫f(x(t))dx = ∫m dv/dt dx = ∫m (dv/dt dx/dt) dt
= (1/2)∫m dv^2/dt dt = (1/2)m v^2(t)-(1/2)m v^2(0)
となります。
f(x)は場所の関数なのでxによる積分も場所だけの関数です。
なので
∫f(x(t))dx=F(x(t))-F(x(0))
とできます。したがって、
(1/2)m v^2(t)-F(x(t))=(1/2)m v^2(0)-F(x(0))
となります。これは、たとえば、力fが場所の関数ではなくて、速さｖや
道のりによる関数だとすると成り立ちません（例：摩擦）

お互いに力を及ぼす場合はどうか？
同じで、互いの位置関係だけできまる力であれば上と同じ話になります。

で、運動量保存の法則とエネルギー保存の法則との使いわけは、
・閉じた系になっていて、内部での力のやり取りの詳細を考えないのが運動量保存
　※そとから力が加わっている場合は使えない
・運動全体（運動方程式の両辺）を再現できるときに使うのがエネルギー保存の法則
　※外から力が加わった場合にも外からエネルギーが入ってきたと考えればよい
という感じかな？受験テクニックとしてはこうなのかもしれませんが、
系全体をどのようにとらえるかとか、
熱の出入りがあって運動方程式の詳細がわからないときにどうするかとか
物理を勉強する上では問題はよい問題（問題文はあまりよくないと思いますが）だと思います。
がんばってください。

お礼

回答ありがとうございます。

＞で、運動量保存の法則とエネルギー保存の法則との使いわけは、
・閉じた系になっていて、内部での力のやり取りの詳細を考えないのが運動量保存
　※そとから力が加わっている場合は使えない
・運動全体（運動方程式の両辺）を再現できるときに使うのがエネルギー保存の法則
　※外から力が加わった場合にも外からエネルギーが入ってきたと考えればよい

参考にさせていただきます。感謝します。

補足

回答ありがとうございます。

＞∫m (dv/dt dx/dt) dt= (1/2)∫m dv^2/dt dt
が不明です。

回答No.3

noname#58790

Fは？

お礼

回答ありがとうございます。

物体の運動を考える時に、（回転を考えないとすると）
(1)運動方程式と力のつりあい
(2)力学的エネルギー保存法則
(3)運動量保存法則
などいろいろあるので、どれをどの時にあてはめればよいのか混乱しています。

　今回の問題についてはＦではなく、初速のｖoのみの条件です。
　Ｆとしては、＝ｍａより、＝ｍ・（ｖoーＶｏ）／Ｔ＝μ'mg かな？
という気がしています。

ゴチャゴチャとして混乱してきました。

回答No.2

my3027

>Aが台上を"運動"し始めると同時に、台Dは床上をAと同じ向きに運動を始めた。

あなたのエネルギ保存則は、Aが台上を運動した事で発生した「仕事」が抜けています。Dの上面は滑らかではないので、摩擦があります。単純に動摩擦係数をμ、移動距離をLとすると摩擦力×移動距離=mgμ×Lのエネルギが消費されたことになります。問題ではμは与えられていませんし、Lがどうなるかは別途計算が必要です。

従って、運動量保存則で解く方しかないのでは。

お礼

回答ありがとうございます。

私が出した質問は、問題集中の一部でありますので、No.1さんへのお礼の中で、すべての問題を出させていただきました。
回答者さんの指摘のとおりです。

ところで、仕事を考慮に入れれば、力学的エネルギー保存法則は成り立つということでしょうか？

１／２・ｍ・ｖo^2＝１／２・ｍ・Ｖo^2＋１／２・M・Ｖo^2＋μ・ｍ・ｇ・L
は成り立つということでしょうか？

回答No.1

oosaka_girl

よく読まずに回答しています。
ですから、外してたらごめんなさい。

運動量保存則は、いつでも成り立つので、衝突時に
逸散するエネルギーは、どうなるとかを考えなくて
すみます。

答えが異なるとすれば、各種逸散エネルギーの分を
忘れて、エネルギー保存則の計算をしているからでは
ないでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。

上記問題は、一部を表示しました。問題の続きは、
「（・・・を始めた。）時間Ｔの後、台Ｄと物体Ａは一体となって等速度で運動を始めた。重力加速度をｇとして、以下の問いに答えよ。

上記問は(1)です。
以下、(2)台Ｄと物体Ａの間の動摩擦係数μ'を求めよ。
(3)物体Ａが台Ｄ上を滑った距離Ｌを求めよ。
(4)物体Ａに初速度を与えた時刻を０として、時刻０から時刻t1（t1＞Ｔ）までの物体Ａと台Ｄの速度の時間的変化を描け。

解説を読むと、
「物体Ａには動摩擦力ーμ'Ｎが働き、台Ｄには動摩擦力μ'Ｎが働くが、運動した距離がＬだけ異なるため、Ａ，Ｄ全体でーμ'ＮＬの運動（力学的）エネルギーを失う。」
という表示がありました。

＞各種逸散エネルギーの分を
忘れて、エネルギー保存則の計算をしているからでは
ないでしょうか？

回答者さんがおっしゃっている各種散逸エネルギーということは、「ーμ'ＮＬ」なのでしょうか？
　するとこの場合は、物体Ａの運動エネルギーは動摩擦力ーμ'ＮＬの仕事により、運動エネルギーが減少し（熱になったのかな？）この分を加えないと、力学的エネルギーは保存されない。
　・・・ということでしょうか？

よって、力学的エネルギーに関しては
１／２・ｍ・ｖo^2＝１／２ｍ・Vo^2＋１／2Ｍ・Vo^2＋μ'ＮＬ
　となるということでしょうか？・・・（単位は同じＪなのでこれでよいのでしょうか？）

大変不安です。

＞運動量保存則は、いつでも成り立つので、衝突時に
逸散するエネルギーは、どうなるとかを考えなくて
すみます。

↑どのようなエネルギーのことなのでしょうか？

補足

お騒がせしております。

力学的エネルギーに関しては、問題集の問(3)の解説の中で
「物体Ａが台車Ｄに対して滑る間に動摩擦力がした仕事Ｗ(μ)＝－μ'ｍｇＬは、エネルギー保存の法則により、Ａ、Ｄの運動（力学的）エネルギーの和の変化量に等しいから、
　－μｍｇＬ＝（1/2ｍＶo^2＋1/2ＭＶo^2）－1/2ｍｖo^2　」
という式が示してありました。

　この場合のように、運動量保存法則適用時の具体的条件はあるのでしょうか？逆にいえば、なぜエネルギーの損得を考えずに運動量保存法則が成り立つのか不思議です。
　運動量保存法則はエネルギーの話とは別なのでしょうか？